Całka wymierna - problem z wyborem konturu

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
blekot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 24 wrz 2021, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26

Całka wymierna - problem z wyborem konturu

Post autor: blekot »

Hej, mam taką całkę do policzenia: \(\displaystyle{ I = \int_{- \infty }^{2} \frac{1}{2x^2-8x+11}dx}\). Przechodząc na funkcję zespoloną i znalezieniu biegunów mam \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{[z-(2-\sqrt{\frac{3}{2}i})][z-(2+\sqrt{\frac{3}{2}i})]} }\).

Jaki sensowny kontur tu zastosować? Przychodzi mi do głowy "dziurka od klucza" wycentrowana w \(\displaystyle{ z=2}\) o ramionach od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ 2}\) i vice versa, która obejmowałaby oba bieguny (coś takiego:

Kod: Zaznacz cały

https://i.stack.imgur.com/X3jpe.png
).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Całka wymierna - problem z wyborem konturu

Post autor: a4karo »

A nie prościej napisać `2x^2-8x+11=2((x-2)^2+3)` i skorzystać ze wzorku `\int \frac{1}{z^2+a^2) dz=...`?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Całka wymierna - problem z wyborem konturu

Post autor: Dasio11 »

Zauważ, że \(\displaystyle{ 2I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2x^2-8x+11} \, \dd x}\), a potem oblicz granicę przy \(\displaystyle{ R \to \infty}\) z całki po konturze \(\displaystyle{ \Gamma_R = [-R, R] + \{ Re^{it} : t \in [0, \pi] \}}\).
blekot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 24 wrz 2021, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26

Re: Całka wymierna - problem z wyborem konturu

Post autor: blekot »

@Dasio
Chyba rozumiem o co Ci chodzi - żeby zmienić zmienne \(\displaystyle{ w = z-2 , dw = dz}\)?
Wtedy \(\displaystyle{ I = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(w-i\sqrt{\frac{3}{2}})(w-i\sqrt{\frac{3}{2}})}dw}\) i można skorzystać z parzystości takiej funkcji zapisując \(\displaystyle{ 2I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(w-i\sqrt{\frac{3}{2}})(w-i\sqrt{\frac{3}{2}})}dw}\), a potem dobrać kontur po nieskończonym półokręgu.
ODPOWIEDZ