Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Hej, mam taką całkę do policzenia: \(\displaystyle{ I = \int_{- \infty }^{2} \frac{1}{2x^2-8x+11}dx}\). Przechodząc na funkcję zespoloną i znalezieniu biegunów mam \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{[z-(2-\sqrt{\frac{3}{2}i})][z-(2+\sqrt{\frac{3}{2}i})]} }\).
Jaki sensowny kontur tu zastosować? Przychodzi mi do głowy "dziurka od klucza" wycentrowana w \(\displaystyle{ z=2}\) o ramionach od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ 2}\) i vice versa, która obejmowałaby oba bieguny (coś takiego:
Zauważ, że \(\displaystyle{ 2I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2x^2-8x+11} \, \dd x}\), a potem oblicz granicę przy \(\displaystyle{ R \to \infty}\) z całki po konturze \(\displaystyle{ \Gamma_R = [-R, R] + \{ Re^{it} : t \in [0, \pi] \}}\).
@Dasio
Chyba rozumiem o co Ci chodzi - żeby zmienić zmienne \(\displaystyle{ w = z-2 , dw = dz}\)?
Wtedy \(\displaystyle{ I = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{(w-i\sqrt{\frac{3}{2}})(w-i\sqrt{\frac{3}{2}})}dw}\) i można skorzystać z parzystości takiej funkcji zapisując \(\displaystyle{ 2I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(w-i\sqrt{\frac{3}{2}})(w-i\sqrt{\frac{3}{2}})}dw}\), a potem dobrać kontur po nieskończonym półokręgu.