Szereg Laurenta wycentrowany w osobliwości

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
sniezynsky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 wrz 2021, o 10:21
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26

Szereg Laurenta wycentrowany w osobliwości

Post autor: sniezynsky »

Cześć, mam rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} }\) wokół punktu \(\displaystyle{ z_0 = 1}\), w obszarach \(\displaystyle{ 0<|z-1|<1
}\)
oraz \(\displaystyle{ 1<|z-1|< \infty }\).
Rozłożyłem funkcję na ułamki proste: \(\displaystyle{ f(z) = -\frac{1}{z-1}+1\frac{1}{z-2} }\), ale nie jestem pewnien jak potraktować tę część z \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} }\). W obu obszarach powinna być ona zbieżna na zewnątrz \(\displaystyle{ z=1}\)? I dlaczego możemy rozwinąć funkcję w szereg Laurenta w punkcie osobliwym?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Szereg Laurenta wycentrowany w osobliwości

Post autor: Dasio11 »

sniezynsky pisze: 16 wrz 2021, o 10:41nie jestem pewnien jak potraktować tę część z \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} }\). W obu obszarach powinna być ona zbieżna na zewnątrz \(\displaystyle{ z=1}\)?
To tylko pojedynczy wyraz, więc w obu przypadkach wystarczy go dopisać do szeregu funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{z-2}}\).

sniezynsky pisze: 16 wrz 2021, o 10:41I dlaczego możemy rozwinąć funkcję w szereg Laurenta w punkcie osobliwym?
Na poziomie filozoficznym - taka już natura szeregów Laurenta, że do nich istnienia wystarcza analityczność funkcji na otoczeniu pierścieniowym punktu \(\displaystyle{ z_0}\). Inaczej niczym nie różniłyby się od szeregów Taylora, które potrzebują by funkcja była analityczna na pełnym otoczeniu. Na poziomie zaś matematycznym oczywiście gwarantuje to odpowiednie twierdzenie, którego dowód można znaleźć w podręcznikach.
sniezynsky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 wrz 2021, o 10:21
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26

Re: Szereg Laurenta wycentrowany w osobliwości

Post autor: sniezynsky »

Dzięki!
ODPOWIEDZ