Cześć, mam rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} }\) wokół punktu \(\displaystyle{ z_0 = 1}\), w obszarach \(\displaystyle{ 0<|z-1|<1
}\) oraz \(\displaystyle{ 1<|z-1|< \infty }\).
Rozłożyłem funkcję na ułamki proste: \(\displaystyle{ f(z) = -\frac{1}{z-1}+1\frac{1}{z-2} }\), ale nie jestem pewnien jak potraktować tę część z \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} }\). W obu obszarach powinna być ona zbieżna na zewnątrz \(\displaystyle{ z=1}\)? I dlaczego możemy rozwinąć funkcję w szereg Laurenta w punkcie osobliwym?
Szereg Laurenta wycentrowany w osobliwości
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 16 wrz 2021, o 10:21
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Szereg Laurenta wycentrowany w osobliwości
To tylko pojedynczy wyraz, więc w obu przypadkach wystarczy go dopisać do szeregu funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{z-2}}\).sniezynsky pisze: ↑16 wrz 2021, o 10:41nie jestem pewnien jak potraktować tę część z \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} }\). W obu obszarach powinna być ona zbieżna na zewnątrz \(\displaystyle{ z=1}\)?
Na poziomie filozoficznym - taka już natura szeregów Laurenta, że do nich istnienia wystarcza analityczność funkcji na otoczeniu pierścieniowym punktu \(\displaystyle{ z_0}\). Inaczej niczym nie różniłyby się od szeregów Taylora, które potrzebują by funkcja była analityczna na pełnym otoczeniu. Na poziomie zaś matematycznym oczywiście gwarantuje to odpowiednie twierdzenie, którego dowód można znaleźć w podręcznikach.sniezynsky pisze: ↑16 wrz 2021, o 10:41I dlaczego możemy rozwinąć funkcję w szereg Laurenta w punkcie osobliwym?
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 16 wrz 2021, o 10:21
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26