Szereg Laurenta

[buncolgit]

Hej wiem że jeżeli funkcja jest analityczna w pierścieniu to rozwija się w nim w szereg Laurenta, ale nie rozumiem dlaczego współczynniki w tym rozwinięciu dane są wzorem (

\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z - c)^{n+1}}dz}\)
gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to dowolna krzywa zamknięta zawarta w pierścieniu obiegająca punkt \(\displaystyle{ c}\). Czyli nie musi ona zawierać punktu w którym liczymy wartość funkcji? W dowodzie raz liczę całkę po zewnętrznym okręgu a raz po wewnętrznym, jednak na końcu nie rozumiem czemu możemy zwinąć ten współczynnik dla liczb ujemnych i dodatnich do wzoru wyżej po tej krzywej \(\displaystyle{ \gamma}\). Z jakiej własności całki to wynika?

[Janusz Tracz]

Jeśli scałkujesz szereg Laurenta funkcji \(\displaystyle{ f}\) to dostaniesz

\(\displaystyle{ \oint_{\gamma} f(z) \dd z = \sum_{n=- \infty }^{ \infty } c_n\oint_{\gamma}(z-z_0)^n \dd z=2 \pi ic_{-1}}\)

i pomysł ten się uogólnia

\(\displaystyle{ \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-c)^{N+1}} \dd z = \sum_{n=- \infty }^{ \infty } c_n\oint_{\gamma}(z-z_0)^{n-N-1} \dd z=2 \pi ic_{N}}\)

przy czym kluczowe jest zrozumienie całki \(\displaystyle{ \oint_{\gamma}(z-z_0)^{n-N-1} \dd z}\) która jest zawsze równa \(\displaystyle{ 0}\) z wyjątkiem, gdy \(\displaystyle{ n-N-1=-1}\). Całkę tą można policzyć parametryzując krzywą \(\displaystyle{ \gamma}\) (można przyjąć, że \(\displaystyle{ \gamma}\) to \(\displaystyle{ \left| z\right|=1 }\)).