Matematyka.pl

Chciałbym zapytać, czy spotkał się ktoś z takim wzorem na obliczanie części urojonej zer funkcji zeta Riemanna?
Przy rozważaniu funkcji eta Dirichleta, która jak wiadomo jest silnie powiązana z funkcją zeta, wyszedł mi wzór na część urojoną zer taki jak poniżej:
\(\displaystyle{ N}\)-te zero funkcji to:

\[\pi \cdot\sum_{n=1}^{\propto }\frac{n\cdot (2k_{1}\pm 1)-(2k_{2}\pm 1)}{\ln (n+1)}\]

Przy czym \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\) są dowolnymi liczbami całkowitymi.
Dokładność jest bardzo dobra i dość zadziwiająca jak na taki "prosty" wzór.
Kolejne "zera" są kolejną wartością sumy przy ustalonych \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\). (nie wiem jak dołączyć tabelę ale można sobie to sprawdzić np. w exelu).
Dziwne jest to iż ( przy ustalonym \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)) wzór ten nie wylicza kolejnych (\(\displaystyle{ 1,2,3...}\)) zer tylko skacze trochę "chaotycznie". Aby otrzymać zera "pomiędzy" trzeba zmienić liczbę \(\displaystyle{ k_1}\) lub \(\displaystyle{ k_2}\) o \(\displaystyle{ \pm 1}\). Dokładność wzoru rośnie wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ n}\).

Czy jest to może jakaś aproksymacja "dokładnego" wzoru? Przy wyprowadzaniu go nie używałem przybliżeń tylko wartości dokładne. (gdyby ktoś chciał mogę przesłać wyliczenia)

Pozdrawiam

Co to jest \(\displaystyle{ \propto}\)?

Po pierwsze wartość sumy tego szeregu nie zależy od `n`.
Po drugie ten szereg jest rozbieżny.

Janusz Tracz pisze: ↑19 lip 2021, o 00:41 Co to jest \(\displaystyle{ \propto}\)?

Ukryta treść:    

Jeśli \(\displaystyle{ \propto}\) nie jest czymś ultra turbo niezwykłym to przykro mi ale ten wzór nie wygląda dobrze.

To oczywista pomyłka... chodziło mi o symbol nieskończoności \(\displaystyle{ \infty }\)

"muszę zmienić okulary"

Dodano po 19 minutach :

a4karo pisze: ↑19 lip 2021, o 06:58 Po pierwsze wartość sumy tego szeregu nie zależy od \(\displaystyle{ n}\).
Po drugie ten szereg jest rozbieżny.

1) Nigdzie nie napisałem że ten szereg jest zbieżny... bo nie musi...Zależy od \(\displaystyle{ n}\) bo są to kolejne sumy częściowe. Być może nie wyraziłem się zbyt jasno: Chodzi o to iż kolejne "sumy częściowe" tego wyrażenia coraz lepiej przybliżają wartości urojone zer funkcji zeta ( dla danego i ustalonego \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)). Wartości zer nie są zbieżne...
2) Przykład dla \(\displaystyle{ k_1=0}\) i \(\displaystyle{ k_2=0}\) już trzeci wyraz tej sumy to ok. \(\displaystyle{ 13,25}\) dość daleko od pierwszego zera ale jest to dopiero 3 wyraz...
poniżej wklejam przykładowe tabelki z obliczeniami kilkunastu pierwszych zer i prównanie ich z zerami rzeczywistymi wyliczonymi na podstawie strony:
Dodam tylko iż kolejne "\(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)" nie wyliczają zer kolejno, co widać w tabelkach

Linki do tabel z poprzedniego posta... tamte coś się nie chciały wkleić:



Dodano po 31 sekundach:
i drugi link



Dodano po 2 dniach 8 godzinach 16 minutach 50 sekundach:
Rozumiem iż nikt nie spotkał się z takim wzorem... no trudno... wygląda na to ( tak na szybko z analizy numerycznej) iż jest prawdziwy i odległość miedzy zerami jest rzędu "n/ln(n)" co jest przybliżeniem funkcji pi(n)..
Pytanie w takim bądź razie inne...czy wobec tego jest to rozwiązanie trywialne, czy coś wnosi do rozkładu zer?