Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 3 paź 2020, o 21:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 24
- Podziękował: 5 razy
Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Hej wiem że jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie \(\displaystyle{ z}\) to spełnia w nim warunki C-R, ale co musi być spełnione żeby była implikacja w drugą stronę? Aby funkcja była różniczkowalna w tym punkcie to musi ona spełniać w nim warunki C-R, muszą istnieć pochodne cząstkowe w tym punkcie i muszą być one w nim ciągłe? Tyle wystarczy?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4086
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Tak. Jeśli spełnione są równania C-R oraz pochodne cząstkowe są ciągłe to w \(\displaystyle{ z_0}\) istnieje pochodna.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Mam wrażenie, że to jednak za mało. Pochodne cząstkowe muszą istnieć w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ z_0}\).
Nie mam pod ręką wzoru tej funkcji, ale z dużym prawdopodobieństwem istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:\RR^2\rightarrow\RR}\) taka, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, ma pochodne cząstkowe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) równe \(\displaystyle{ 0}\), nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\), a także \(\displaystyle{ f(x,y)\neq 0}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\neq (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0,0)=0}\).
Zdefiniujmy wówczas
\(\displaystyle{ u(x,y):=\begin{cases}f(x,y) & ,(x,y)\in\QQ\times\QQ \\ 0 & ,(x,y)\in\RR^2\setminus\QQ\times\QQ\end{cases}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ u}\) ma pochodne cząstkowe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i tylko w tym punkcie, dlatego są one ciągłe. Jednak \(\displaystyle{ u}\) nie jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i dlatego nie może być częścią rzeczywistą (ani urojoną) funkcji różniczkowalnej w \(\displaystyle{ (0,0)}\) w sensie zespolonym.
Nie mam pod ręką wzoru tej funkcji, ale z dużym prawdopodobieństwem istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:\RR^2\rightarrow\RR}\) taka, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, ma pochodne cząstkowe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) równe \(\displaystyle{ 0}\), nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\), a także \(\displaystyle{ f(x,y)\neq 0}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\neq (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0,0)=0}\).
Zdefiniujmy wówczas
\(\displaystyle{ u(x,y):=\begin{cases}f(x,y) & ,(x,y)\in\QQ\times\QQ \\ 0 & ,(x,y)\in\RR^2\setminus\QQ\times\QQ\end{cases}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ u}\) ma pochodne cząstkowe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i tylko w tym punkcie, dlatego są one ciągłe. Jednak \(\displaystyle{ u}\) nie jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i dlatego nie może być częścią rzeczywistą (ani urojoną) funkcji różniczkowalnej w \(\displaystyle{ (0,0)}\) w sensie zespolonym.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4086
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Wydaje mi się, że istnieje zamieszanie w nomenklaturze. To co opisujesz to holomorficzność funkcji. Jeśli różniczkowalność oznacza dokładnie holomorficzność to masz rację. Ale z tego co widzę na przykład w książce Funkcje Zespolone, Jolanty Długosz to istnieje też podejście głoszące, że holomorficzność to różniczkowalność w otoczeniu. Pewne cytaty
i dalejJolanta Długosz warunek wystarczający istnienia pochodnej pisze:Jeśli pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji \(\displaystyle{ u(x,y),v(x,y)}\) są ciągłe w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) i spełnione są w równania C-R, to funkcja zespolona \(\displaystyle{ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}\) (gdzie \(\displaystyle{ z=x+iy}\)) ma pochodną w punkcie \(\displaystyle{ z_0=x_0+iy_0}\). Ponadto
\(\displaystyle{ f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0).}\)
Istnieje funkcja różniczkowalna w punkcie ale nie holomorficzna. Przykład to \(\displaystyle{ \left[ \CC \ni z\mapsto \left| z\right|^2 \in\CC \right] }\) funkcja jest różniczkowalna tylko w jednym punkcie \(\displaystyle{ z_0=0}\) pokazuje to bezpośredni rachunek ale nie jest holomorficzna. Ale faktycznie często o tym otwartym otoczeniu się słyszy. Przykładowo tutajJolanta Długosz funkcja holomorficzna w punkcie i obszarze pisze:Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) jest holomorficzna w punkcie \(\displaystyle{ z_0}\) jeśli ma pochodną \(\displaystyle{ f'(z)}\) w pewnym otoczeniu tego punktu...
Kod: Zaznacz cały
https://www.math.drexel.edu/~tolya/complex%20differentiability%20vs%20real%20differentiability.pdf
Ok to prawda ale taki zestaw warunków daje holomorficzność (tu prawdopodobnie utożsamioną z różniczkowalnością). Jednak to nadmiar warunków do tego aby wartość \(\displaystyle{ f'(z_0)}\) (rozumiana jako granicza ilorazu różnicowego) istniała.Complex differentiability pisze:Sufficient condition. Let the first partial derivatives of \(\displaystyle{ u}\) and \(\displaystyle{ v}\) exist in an open neighborhood of \(\displaystyle{ z_0}\). If these partial derivatives are continuous at \(\displaystyle{ z_0}\) and satisfy the Cauchy–Riemann equations at \(\displaystyle{ z_0}\), then \(\displaystyle{ f = u + iv}\) is differentiable at \(\displaystyle{ z_0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Nie zgodzę się. Mój kontrprzykład pozwala skonstruować funkcję \(\displaystyle{ \CC\rightarrow\CC}\), która nie jest różniczkowalna w zerze (a spełnia sugerowane warunki wystarczające). Proponowane rozróżnienie między funkcją holomorficzną a różniczkowalną nie ma w tym przypadku związku.
Żeby była jasność, funkcja \(\displaystyle{ u}\) z mojego poprzedniego posta to część rzeczywista. Za część urojoną trzeba przyjąć np. funkcję stale równą zero.
Dodano po 4 minutach 57 sekundach:
Zacytowane twierdzenie z książki Jolanty Długosz wydaje mi się być nieprawdziwe. Zapomniano tutaj np. o przypadku, gdy pochodne cząstkowe istnieją tylko w jednym punkcie, przez co są ciągłe w trywialny sposób.
Żeby była jasność, funkcja \(\displaystyle{ u}\) z mojego poprzedniego posta to część rzeczywista. Za część urojoną trzeba przyjąć np. funkcję stale równą zero.
Co tutaj rozumiesz przez nadmiar? Istnienie pochodnych cząstkowych w otoczeniu według mnie nie może zostać pominięte.Janusz Tracz pisze: ↑19 lip 2021, o 18:40Ok to prawda ale taki zestaw warunków daje holomorficzność (tu prawdopodobnie utożsamioną z różniczkowalnością). Jednak to nadmiar warunków do tego aby wartość \(\displaystyle{ f'(z_0)}\) (rozumiana jako granicza ilorazu różnicowego) istniała.Complex differentiability pisze:Sufficient condition. Let the first partial derivatives of \(\displaystyle{ u}\) and \(\displaystyle{ v}\) exist in an open neighborhood of \(\displaystyle{ z_0}\). If these partial derivatives are continuous at \(\displaystyle{ z_0}\) and satisfy the Cauchy–Riemann equations at \(\displaystyle{ z_0}\), then \(\displaystyle{ f = u + iv}\) is differentiable at \(\displaystyle{ z_0}\).
Dodano po 4 minutach 57 sekundach:
Zacytowane twierdzenie z książki Jolanty Długosz wydaje mi się być nieprawdziwe. Zapomniano tutaj np. o przypadku, gdy pochodne cząstkowe istnieją tylko w jednym punkcie, przez co są ciągłe w trywialny sposób.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4086
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Pewnie masz rację. Niestety jestem głupi. To, że \(\displaystyle{ \left| z\right|^2 }\) jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ z_0=0}\) choć otoczenie nie istnieje nie oznacza, że założenie o otoczeniu można zawsze odpuścić.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Przecież w przypadku funkcji \(\displaystyle{ z\mapsto |z|^2}\) i \(\displaystyle{ z_0=0}\) to otoczenie jak najbardziej istnieje. Wtedy \(\displaystyle{ u(x,y)=x^2+y^2}\), a \(\displaystyle{ v(x,y)=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ (x,y)\in\RR^2}\). Pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) istnieją wszędzie.
Mylisz zdaje się różniczkowalność funkcji zespolonej z istnieniem pochodnych cząstkowych części rzeczywistej i urojonej.
Mylisz zdaje się różniczkowalność funkcji zespolonej z istnieniem pochodnych cząstkowych części rzeczywistej i urojonej.
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Wskocze w temat, jesli mozna. Prosze o poprawienie, gdzie sie myle. Mowa tylko o funkcjach zespolonych i rozniczkowalnosci w sensie zespolonym:
1. Funkcja rozniczkowalna jest nieskonczenie rozniczkowalna.
2. Funkcja nie moze byc rozniczkowalna tylko w jednym jedynym punkcie. Bo: Jesli nie istnieje pochodna w otoczeniu punktu, to nie jest mozliwym znalezienie drugiej pochodnej w tym punkcie.
3. Funkcja
\(\displaystyle{ f(z)=zRe(z) }\) moze byc rozniczkowalna tylko poza zerem (co widac z warunkow Cauchy-Riemanna)
4. Obliczajac pochodna funkcji \(\displaystyle{ f}\) w zerze z definicji otrzymujemy, ze pochodna istnieje (jest rowna zero).
Otrzymujemy sprzecznosc.
1. Funkcja rozniczkowalna jest nieskonczenie rozniczkowalna.
2. Funkcja nie moze byc rozniczkowalna tylko w jednym jedynym punkcie. Bo: Jesli nie istnieje pochodna w otoczeniu punktu, to nie jest mozliwym znalezienie drugiej pochodnej w tym punkcie.
3. Funkcja
\(\displaystyle{ f(z)=zRe(z) }\) moze byc rozniczkowalna tylko poza zerem (co widac z warunkow Cauchy-Riemanna)
4. Obliczajac pochodna funkcji \(\displaystyle{ f}\) w zerze z definicji otrzymujemy, ze pochodna istnieje (jest rowna zero).
Otrzymujemy sprzecznosc.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Żeby funkcja różniczkowalna była różniczkowalna nieskończenie wiele razy, to musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego. Dlatego punkt drugi
Zakładam, że tutaj
jest nieprawdziwy.
Zakładam, że tutaj
miało być "tylko w zerze".
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Tak, oczywiscie, dziekuje, tylko w zerze.
A propos (2), nie rozumiem, dlaczego nieprawdziwy? Piszesz, "musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego". I to prawda, wlasnie to mialam na mysli.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Są przykłady funkcji różniczkowalnej tylko w jednym punkcie. Twoje uzasadnienie punktu 2 opiera się na punkcie 1, który w tym przypadku także jest nieprawdziwy, ponieważ
Żeby funkcja różniczkowalna była różniczkowalna nieskończenie wiele razy, to musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego.
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Warunki Cauchy'ego Riemanna - wkw na różniczkowalność?
Mowimy o funkcjach zespolonych.matmatmm pisze: ↑2 lut 2022, o 10:21 Są przykłady funkcji różniczkowalnej tylko w jednym punkcie. Twoje uzasadnienie punktu 2 opiera się na punkcie 1, który w tym przypadku także jest nieprawdziwy, ponieważŻeby funkcja różniczkowalna była różniczkowalna nieskończenie wiele razy, to musi być różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego.