Zbadać istnienie podchodnej

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 421
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 163 razy
Pomógł: 16 razy

Zbadać istnienie podchodnej

Post autor: Bran »

Zbadać z definicji istnienie pochodnej funkcji: \(\displaystyle{ \overline{z}^2 + iz.}\)

Bardzo proszę o podpowiedź, niestety tutaj to sprzężenie sprawia mi kłopoty.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbadać istnienie podchodnej

Post autor: Janusz Tracz »

Z definicji mamy:

\(\displaystyle{ f'\left( z\right)= \lim_{ h\to 0} \frac{\overline{z+h}^2 + i\left( z+h\right) -\overline{z}^2 - iz}{h} = \lim_{ h\to 0} \frac{\left( \overline{z}+\overline{h}\right) ^2 + i\left( z+h\right) -\overline{z}^2 - iz}{h} = }\)

\(\displaystyle{ = \lim_{ h\to 0} \frac{ \overline{z}^2+2\overline{z}\overline{h}+\overline{h}^2 + iz+ih -\overline{z}^2 - iz}{h}=\lim_{ h\to 0} \left( 2\overline{z} \cdot \frac{\overline{h}}{h} + \frac{\overline{h}^2}{h}+i \right) }\)

teraz rozważ przypadki \(\displaystyle{ \overline{z}=0}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{z} \neq 0}\). Warto będzie też sprawdzić co się dzieje gdy \(\displaystyle{ h= \frac{i}{n} }\) a co gdy \(\displaystyle{ h= \frac{1}{n} }\) gdzie \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)
ODPOWIEDZ