Nierówność dla liczb rzeczywistych.

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Nierówność dla liczb rzeczywistych.

Post autor: pawlo392 »

Weźmy dwie liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2}\) o ujemnych częściach rzeczywistych . Czy zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left| e^{z_1}-e^{z_2}\right| \le \left| z_1-z_2\right| }\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Nierówność dla liczb rzeczywistych.

Post autor: Dasio11 »

Wskazówka: dla funkcji holomorficznej \(\displaystyle{ f : D \to \CC}\) spełniającej \(\displaystyle{ (\forall z \in D) \, |f'(z)| \le M}\) zachodzi

\(\displaystyle{ |f(z_2) - f(z_1)| = \left| \int \limits_{z_1}^{z_2} f'(z) \, \dd z \right| \le \int \limits_{z_1}^{z_2} |f'(z)| \, |\dd z| \le M \int \limits_{z_1}^{z_2} |\dd z| = M |z_2-z_1|}\).
ODPOWIEDZ