Promienie zbieżności

[Jakub Gurak]

Mam takie zadanie ze studiów, proszę o pomoc:

Wykaż, że promień zbieżności szeregu potęgowego funkcji analitycznej \(\displaystyle{ w=f(z)}\) jest taki sam jak promień zbieżności szeregu potęgowego funkcji \(\displaystyle{ g(z)=f^{\prime} (z).}\)

Proszę o pomoc, dzisiaj zjadłem zęby na tym zadaniu.

[Dasio11]

Skorzystaj z kryterium Cauchy'ego-Hadamarda.

[Jakub Gurak]

Zrobiłem, ale mam pewną wątpliwość, gdyż jestem umysłem ścisłym.

Dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) współczynniki odpowiedniego szeregu wynoszą (w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ z}\)) \(\displaystyle{ a_n= \frac{f^{(n)}(z)}{n!}}\), i podobnie dla funkcji \(\displaystyle{ g}\) współczynniki \(\displaystyle{ b_n}\) wynoszą \(\displaystyle{ b_n= \frac{g ^{(n)}(z) }{n!}= \frac{f ^{(n+1)} (z)}{n!}}\), Korzystając ze wzoru na promienie zbieżności \(\displaystyle{ r_a= \frac{1}{ \lim\limits_{ n\in\NN } \left|\frac{ a_{n+1} }{a _{n} } \right| }}\) po prostych obliczeniach otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{ n\in\NN}\left[ \left| \frac{f ^{(n)}\left( z\right) }{f ^{(n+1) }(z) } \right| \left( n+1\right)\right] .
}\) Podobnie dla ciągu \(\displaystyle{ b}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ r_b= \lim_{ n\in\NN} \left[ \left| \frac{f ^{(n+1)} \left( z\right) }{f ^{(n+2)} \left( z\right)} \right| \left( n+1\right)\right] .}\)

Chciałoby się teraz skorzystać z faktu, że jeśli mamy dowolny ciąg to jeśli przesuniemy wyrazy ciągu o \(\displaystyle{ 1}\), to nie wpłynie to na zbieżność ciągu i jego granicę. Tylko że, ściśle rzecz biorąc, w pochodnych mamy przesunięty numer \(\displaystyle{ n}\) o jeden, ale mnożymy to w obydwu przypadkach przez \(\displaystyle{ (n+1)}\)- a więc nie ma tu przesunięcia o jeden. Czy to nie problem

Jak to zadanie zrobić

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \left| \frac{f ^{(n+1)} \left( z\right) }{f ^{(n+2)} \left( z\right)} \right| \left( n+1\right)= \left| \frac{f ^{(n+1)} \left( z\right) }{f ^{(n+2)} \left( z\right)} \right| \left( n+2\right)\cdot\frac{n+1}{n+2}}\)

JK