Obrazy zbiorów przy odwzorowaniach

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Szwanceneger
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 3 lis 2019, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 23 razy

Obrazy zbiorów przy odwzorowaniach

Post autor: Szwanceneger »

Należy wyznaczyć obrazy zbiorów przy podanych odwzorowaniach. Np. \(\displaystyle{ D=\left\{ z \in \CC: 0 \le \Re(z) \le 2, 0 \le \Im(z) \le\frac{ \pi }{2} \right\}, w=e^{z} }\)

Jest jakiś schemat na rozwiązywanie takich zadań?
Ostatnio zmieniony 10 sie 2020, o 18:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Obrazy zbiorów przy odwzorowaniach

Post autor: janusz47 »

Obrazem zbioru

\(\displaystyle{ D = \left\{ z \in \CC: 0 \leq \Re (z) \leq 2, \ \ 0 \leq \Im(z) \leq \frac{\pi}{2} \right\} }\) - prostokąta domkniętego pierwszej ćwiartki płaszczyzny Gaussa \(\displaystyle{ \CC }\)

w przekształceniu \(\displaystyle{ w = e^{z} = e^{x+iy} = e^{x} e^{iy}, }\)

jest zbiór

\(\displaystyle{ P_{w} = \left\{ w\in \CC: 1 \leq |w| \leq e^{2}, \ \ 0\leq Arg(w)\leq \frac{\pi}{2} \right\}.}\) - pierścień domknięty w pierwszej ćwiartce płaszczyzny Gaussa \(\displaystyle{ \CC. }\)

bo

\(\displaystyle{ |w| = |e^{z}| = |e^{x+iy}| = |e^{x}\cdot e^{i y}| = |e^{x}||e^{iy}| }\)

i dla

\(\displaystyle{ \Re(z) = x = 0 , \ \ |w| = |e^{0}||e^{iy}| = 1|e^{iy}| = 1\cdot1 = 1 }\)

\(\displaystyle{ \ Re(z) = x = 2,\ \ |w| = |e^{2}||e^{iy} = e^2\cdot 1 = e^2.}\)

\(\displaystyle{ 0 \leq Arg(w) \leq \frac{\pi}{2}. }\)
ODPOWIEDZ