Pierwiastki wielomianu

[41421356]

Niech \(\displaystyle{ w}\) będzie tym pierwiastkiem zespolonym wielomianu \(\displaystyle{ p(z)=z^5-1}\) który ma możliwie najmniejszy dodatni argument. Wykaż, że \(\displaystyle{ w^2, \ w^3, \ w^4}\) są pozostałym zespolonymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ p(z)}\).

[szw1710]

Jeśli \(w^5=1\), to \(w^{5k}=(w^5)^k=1\) dla \(k\in\NN\), więc wystarczy tylko sprawdzić, że argumenty tych potęg są wzajemnie różne. Założenie o najmniejszym dodatnim argumencie jest nieistotne. Wystarczy założyć niezerowość tego argumentu. Ale uwaga: jeśli weźmiemy szóstą potęgę (czy dowolną parzystą), to już nie, założenie nabiera istotności.

[41421356]

Dziękuję, ta część jest jasna. Mam następnie korzystając z tego faktu wykazać, że:

\(\displaystyle{ 1+w+w^2+w^3+w^4=0}\)

[Dasio11]

Skorzystaj z twierdzenia Bézouta i wzorów Viète'a.

[41421356]

Wiem jak to rozłożyć z twierdzenia Bézouta. Natomiast nie bardzo wiem jak wykorzystać tutaj wzory Viète'a.

Edit: Już wiem, trzeba wykorzystać wzór na sumę pierwiastków.

Teraz mam kolejny podpunkt zadania. Mam rozłożyć na czynniki, liniowy oraz kwadratowe poniższe równanie:

\(\displaystyle{ z^5-1=0}\)

[Dasio11]

Domyślam się, że rozkład ma być na wielomiany o współczynnikach rzeczywistych - w takim wypadku rozłóż najpierw na czynniki liniowe w liczbach zespolonych, a potem wymnóż czynniki sprzężone.

[41421356]

Dziękuję za pomoc, już wszystko jasne.