Twierdzenie (Zasada argumentu)
Niech \(\displaystyle{ D \subset C}\) będzie obszarem (zbiorem otwartym i ograniczonym), zaś \(\displaystyle{ \partial D}\) - konturem (krzywą regularną).
Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją meromorficzną w \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ f}\) nie ma ani zer ani biegunów na \(\displaystyle{ \partial D}\), to przyrost argumentu f podzielony przez \(\displaystyle{ 2\pi}\) równa się różnicy między ilością zer \(\displaystyle{ N}\) a ilością biegunów \(\displaystyle{ P}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\) w obszarze \(\displaystyle{ D}\) czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\Delta_{\partial D}argf(z) = N − P}\).
Moje pytanie: Jaka jest definicja pokreślonej w powyższym twierdzeniu przyrostu argumentu?
Nie została mi podana przez p. profesor. Moje niezrozumienie wynika z tego, że argument może odnosić się do dwóch obiektów: argumentu funkcji, zwyczajowo \(\displaystyle{ z}\), lub argumentu liczby zespolonej, \(\displaystyle{ Arg(z)}\).
W twierdzeniu napisane jest przyrost argumentu f, ale może tu chodzić też o oba znaczenia tego słowa; zmianę wartości funkcji lub zmianę kąta nachylenia wartości funkcji.
Interpretacja 1: Przyrost argumentu \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ f(\gamma( \beta )) - f(\gamma( \alpha ))}\), gdzie krzywa \(\displaystyle{ \gamma}\) jest od \(\displaystyle{ \alpha \in C }\) do \(\displaystyle{ \beta \in C }\).
Interpretacja 2: Przyrost argumentu \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ Arg(f(\gamma( \beta ))) - Arg(f(\gamma( \alpha )))}\), gdzie krzywa \(\displaystyle{ \gamma}\) jest od \(\displaystyle{ \alpha \in C }\) do \(\displaystyle{ \beta \in C }\).
Definicja przyrostu argumentu - w Zasadzie argumentu
-
Indifferentiable
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 30 lip 2019, o 01:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10216
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Definicja przyrostu argumentu - w Zasadzie argumentu
Chodzi o argument liczby zespolonej.
Przyrost argumentu \(\displaystyle{ f}\) wzdłuż krzywej \(\displaystyle{ \gamma}\) jest zdefiniowany jako
\(\displaystyle{ \Delta_{\gamma} \operatorname{arg} f(z) = \operatorname{Im} \int \limits_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} \, \dd z}\).
Nie można tej wartości zdefiniować jako \(\displaystyle{ \operatorname{Arg}(f(\gamma(\beta))) - \operatorname{Arg}(f(\gamma(\alpha)))}\), mimo że intuicyjnie to właśnie o taki przyrost chodzi.
Kąt liczby zespolonej jest określony z dokładnością do całkowitych wielokrotności \(\displaystyle{ 2\pi}\) - na przykład kątem liczby \(\displaystyle{ i}\) jest zarówno \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), jak i \(\displaystyle{ -\frac{11\pi}{2}}\) oraz wiele innych liczb. Jeśli jednak ustalimy wybór kąta danej liczby zespolonej i zaczniemy przesuwać ją po krzywej \(\displaystyle{ \gamma}\), to istnieje tylko jeden sposób przypisania kąta każdej liczbie po drodze, tak żeby kąt także zmieniał się w sposób ciągły. Wówczas różnica kąta na końcu i kąta na początku nie zależy od owego początkowego wyboru, a z pewnych powodów tę różnicę wyraża napisana wyżej całka. Nie opisuje jej natomiast formuła, którą podałeś w ostatniej linijce, bo \(\displaystyle{ \operatorname{Arg} z}\) nie jest funkcją ciągłą (i nie da się go tak określić, żeby był). Widać to chociażby po tym, że dla krzywych zamkniętych - czyli takich, że \(\displaystyle{ \gamma(\alpha) = \gamma(\beta)}\) - wzór zawsze daje wartość zero.
Przyrost argumentu \(\displaystyle{ f}\) wzdłuż krzywej \(\displaystyle{ \gamma}\) jest zdefiniowany jako
\(\displaystyle{ \Delta_{\gamma} \operatorname{arg} f(z) = \operatorname{Im} \int \limits_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} \, \dd z}\).
Nie można tej wartości zdefiniować jako \(\displaystyle{ \operatorname{Arg}(f(\gamma(\beta))) - \operatorname{Arg}(f(\gamma(\alpha)))}\), mimo że intuicyjnie to właśnie o taki przyrost chodzi.
Kąt liczby zespolonej jest określony z dokładnością do całkowitych wielokrotności \(\displaystyle{ 2\pi}\) - na przykład kątem liczby \(\displaystyle{ i}\) jest zarówno \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), jak i \(\displaystyle{ -\frac{11\pi}{2}}\) oraz wiele innych liczb. Jeśli jednak ustalimy wybór kąta danej liczby zespolonej i zaczniemy przesuwać ją po krzywej \(\displaystyle{ \gamma}\), to istnieje tylko jeden sposób przypisania kąta każdej liczbie po drodze, tak żeby kąt także zmieniał się w sposób ciągły. Wówczas różnica kąta na końcu i kąta na początku nie zależy od owego początkowego wyboru, a z pewnych powodów tę różnicę wyraża napisana wyżej całka. Nie opisuje jej natomiast formuła, którą podałeś w ostatniej linijce, bo \(\displaystyle{ \operatorname{Arg} z}\) nie jest funkcją ciągłą (i nie da się go tak określić, żeby był). Widać to chociażby po tym, że dla krzywych zamkniętych - czyli takich, że \(\displaystyle{ \gamma(\alpha) = \gamma(\beta)}\) - wzór zawsze daje wartość zero.