Odwzorowanie biholomorficzne

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
WiesieK1221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 18 cze 2020, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Odwzorowanie biholomorficzne

Post autor: WiesieK1221 » 18 cze 2020, o 16:31

Mam problem z takim oto zadaniem:
Skonstruować odwzorowanie biholomorficzne obszaru \(\displaystyle{ B(0, \sqrt{2}) \cap B(-2; \sqrt{2})}\) na górną półpłaszczyznę; gdzie \(\displaystyle{ B(a,r)}\) oznacza koło o środku w \(\displaystyle{ a}\) (na osi rzeczywistej) i promieniu \(\displaystyle{ b}\).
Ostatnio zmieniony 18 cze 2020, o 18:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Odwzorowanie biholomorficzne

Post autor: pkrwczn » 21 lip 2020, o 21:09

\(\displaystyle{ B(0, \sqrt{2}) \cap B(-2; \sqrt{2})}\) nie jest zbiorem otwartym, więc nie da się skonstruować takiego odwzorowania.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9768
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2202 razy

Re: Odwzorowanie biholomorficzne

Post autor: Dasio11 » 21 lip 2020, o 22:56

Prawdopodobnie jednak chodzi o koła otwarte, a wtedy rozwiązanie istnieje. Omawiany obszar jest przekrojem dwóch kół o jednakowym promieniu, trochę przypominający soczewkę. Obrazem tego zbioru przez inwersję o środku w którymkolwiek wierzchołku soczewki będzie kąt na płaszczyźnie, a taki już łatwo odwzorować biholomorficznie na półpłaszczyznę odwzorowaniem postaci \(\displaystyle{ z^{\alpha}}\) (po ewentualnym przesunięciu).

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Odwzorowanie biholomorficzne

Post autor: pkrwczn » 21 lip 2020, o 23:59

A ja myślałem, że czy koła są otwarte, czy zamknięte nie robi różnicy. Iloczyn zbiorów jest nieotwarty, więc nie zbiholomorfizuje się z żadnym innym zbiorem. Bo soczewka ma brzeg. Jak wyrzucimy brzeg to tak. Dlaczego ma znaczenie, czy podane koła są otwarte czy nie? Ich brzegów i tak w iloczynie by nie było.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9768
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2202 razy

Re: Odwzorowanie biholomorficzne

Post autor: Dasio11 » 22 lip 2020, o 07:18

A więc twierdzisz, że przekrój dwóch kół otwartych może nie być zbiorem otwartym?

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Odwzorowanie biholomorficzne

Post autor: pkrwczn » 22 lip 2020, o 16:19

Teraz już widzę. Masz rację. Otwarte dają przekrój otwarty, a zamknięte zamknięty.

ODPOWIEDZ