Zbieżność szeregu

[Jula9961]

Witam, mam problem ze zbadaniem czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left( n+i\right) ^{n} z^{n}}\) jest zbieżny w jakimś punkcie brzegu koła \(\displaystyle{ D\left( 0,1\right) }\). Poratuje ktoś?

[Janusz Tracz]

Zauważ, że dla \(\displaystyle{ z\in\CC \setminus \left\{ 0\right\} }\) mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left|\left( n+i\right) ^{n} z^{n} \right| } = \lim_{n \to \infty } \left| n+i\right| \cdot \left| z\right| = \infty }\)

Teraz odpowiedz na pytania:

\(\displaystyle{ (1)}\) I co wynika z powyższego?

\(\displaystyle{ (2)}\) A co dzieje się dla \(\displaystyle{ z=0}\)?

\(\displaystyle{ (3)}\) Czymkolwiek jest \(\displaystyle{ D(0,1)}\) czy \(\displaystyle{ 0\in D(0,1)}\)?

[Jula9961]

1) Skoro granica jest większa od 1 to na mocy kryterium Cauchy'ego szereg jest rozbieżny.
2) Dla z=0 mamy nieskończoną sumę samych zer, a zatem suma szeregu wynosi 0 i szereg jest tym samym zbieżny.
3)\(\displaystyle{ D\left( 0,1\right) }\) oznacza koło otwarte o środku w punkcie 0 i promieniu 1. Zatem 0 należy do tego zbioru, ale nie należy do jego brzegu.
Zgadza się? I czy tym samym mogę już wnioskować, że szereg nie jest zbieżny dla żadnego z punktów brzegu tego kola?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 3 \times \text{tak}}\) oraz wnioski poprawne.