Macierz Jacobiego

[Mondo]

Witam,

dla odwzorowania \(\displaystyle{ z \rightarrow z^2}\) chcę wyznaczyć macierz Jacobiego zeby pokazać, że to mapowanie jest lokalnie pochodną którą to przedstawiamy jako 'amplifikację' oraz 'rotację'

tak więc jeśli \(\displaystyle{ z = re^{i\theta} \rightarrow z^2 = r^2 e^{2i\theta}}\)
jesli zapiszemy \(\displaystyle{ z^2}\) w formie polarnej otrzymujemy \(\displaystyle{ z^2 = r^2 e^{2i\theta} = r^2(\cos(2\theta) + i\sin(2\theta))}\)
obliczajac współczynniki do macierzy Jacobiego: \(\displaystyle{ u = r^2 \cos(2\theta)}\) stad \(\displaystyle{ \partial \frac{du}{dx} = 2r \cos(2\theta) + r^2 \cos(2\theta) \frac{d}{dx} = 2r \cos(2\theta) }\)
podobnie obliczam pozostale trzy elementy i wstawiając teraz do macierzy Jacobiego otrzymujemy:


\(\displaystyle{ J=2r\left[\begin{array}{cccc}\cos(2\theta)& -\sin(2\theta)\\ \sin(2\theta)&\cos(2\theta)\end{array}\right]}\)

Natomiast w książce widzę iż funkcje są w prawdzie takie same natomiast tam gdzie u mnie jest \(\displaystyle{ 2\theta}\) w książce jest po prostu \(\displaystyle{ \theta}\). Z czego to wynika?

[pkrwczn]

\(\displaystyle{ z=x+i y}\)
\(\displaystyle{ z^2 = x^2-y^2 + 2 i x y}\)
\(\displaystyle{ \textbf{J} = \left[\begin{array}{cccc} \frac{ \partial Re(z^2)}{ \partial x} & \frac{ \partial Re(z^2)}{ \partial y} \\ \frac{ \partial Im(z^2)}{ \partial x} & \frac{ \partial Im(z^2)}{ \partial y } \end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cccc} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{array}\right] =
2r \left[\begin{array}{cccc} \frac{x}{r} & \frac{-y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r} \end{array}\right] =
2r \left[\begin{array}{cccc} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array}\right]}\)

[Mondo]

pkrwczn, w takiej postaci też otrzymuję taki wynik. Problem dotyczy współrzędnych polarnych. Prawdopodobnie źle policzyłem te pochodną

[Jan Kraszewski]

Problem dotyczy współrzędnych polarnych.

Po polsku to jednak współrzędne biegunowe.

JK