Wykazać nieistnienie granicy funkcji

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Wykazać nieistnienie granicy funkcji

Post autor: Roshita »

Witam, mam wykazać nieistnienie granic
\(\displaystyle{ \lim_{ z\to 0} \frac{Rez}{z} }\) tu wzięłam dwa ciągi \(\displaystyle{ z_n= \frac{1}{n} }\) i \(\displaystyle{ w_n= \frac{i}{n} }\), granice ciągów są równe 0, ale po podstawieniu do granicy \(\displaystyle{ \frac{Rez}{z}}\) wychodzą dwie różne wartości, a więc granica \(\displaystyle{ \lim_{ z\to 0} \frac{Rez}{z} }\) nie istnieje, czy to jest dobrze?
I druga granica
\(\displaystyle{ \lim_{ z\to1 } \frac{1-z}{1- \overline{z}} }\) i tu nie bardzo wiem jak dobrać ciągi
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Wykazać nieistnienie granicy funkcji

Post autor: Gosda »

\(\displaystyle{ \frac{1-z}{1- \overline{z}} = \frac{1 - a -bi}{1 - a + bi} = 1 - \frac{b}{1 - a + bi} \cdot 2i}\)

zakładając, że \(z = a + bi\). Czy potrafisz to dalej pociągnąć?
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wykazać nieistnienie granicy funkcji

Post autor: Roshita »

Hmm szczerze mówiąc teraz wiem jeszcze mniej. Nie miałam przykładu z rozpisywaniem "z", myślałam o tym, ale właśnie nie wiedziałam jak to pociągnąć dalej i sądziłam, że chodzi raczej o coś w stylu wcześniejszego przykładu
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Wykazać nieistnienie granicy funkcji

Post autor: Gosda »

(To, co napiszę po nawiasie, można zgadnąć, ale można też odkryć w systematyczny sposób. Tutaj licznik i mianownik mogą zbiegać w różnym tempie do zera. Prawdopodobnie granica nie istnieje, ułamek może przyjmować dowolne wartości, trzeba tylko odpowiednio dobrać ciągi. Jeśli zgadujesz, to nie potrzebujesz tak rozpisywać ilorazu. Jeśli podchodzisz systematycznie, może to ułatwić pracę). Zatem kontrprzykład. Na przykład tak: jeśli \(z_n = 1 + i/n\), czyli \(1 - a = 0\) w powyższym poście, to badane wyrażenie pod granicą przyjmuje postać

\(\displaystyle{ 1 - \frac{2}{0 +2i} \cdot 2i = -1}\).

Spróbuj wskazać inny ciąg zbieżny do jedynki, i zbadać zachowanie ilorazu.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wykazać nieistnienie granicy funkcji

Post autor: Roshita »

Czyli mogę to zrobić, bez przekształcania \(\displaystyle{ z=a+bi}\), po prostu biorąc ciąg \(\displaystyle{ z_n=1+ \frac{i}{n} }\) i ciąg \(\displaystyle{ w_n=1+ \frac{1}{n} }\) i podstawiając? Wtedy dostanę odpowiednio \(\displaystyle{ -1 \space i \space 1}\). Ale oba te ciągi mają granice równe 1. Takie pytanie, czy przy dobieraniu ciągów wystarczy, żeby ich granice były sobie równe, czy musi być spełniony jakiś dodatkowy warunek? I tak ogolnie to bardzo dziękuję za pomoc :)
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Wykazać nieistnienie granicy funkcji

Post autor: Gosda »

Jeden dodatkowy warunek, żeby funkcja była określona w każdym punkcie \(z_n\).
ODPOWIEDZ