Jednospójność

[Jula9961]

Mam problem z zadaniem, a mianowicie nie wiem jak wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ D=\left\{ z \in \CC:\left| z\right|<4 \right\} \setminus \left\{ z \in \CC:\left| z-2\right| \le 2 \right\}}\) jest zbiorem jednospójnym.
Nigdy nie badałam jednospójności zbioru i kompletnie nie wiem jak się za to zabrać.

[Dasio11]

Spróbuj wykazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ D}\) jest ściągalna, a potem skorzystaj z faktu, że w przestrzeni ściągalnej grupa podstawowa jest trywialna.

Na wszelki wypadek dopytam: jak u Ciebie definiuje się jednospójność?

[Jula9961]

Niestety, ale na zajęciach nie mieliśmy nic o ściągalności przestrzeni. Natomiast definicję jednospójności przyjmujemy taką, że: zbiór \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{C}}\) nazywamy jednospójnym, jeżeli \(\displaystyle{ \overline{\mathbb{C}} \setminus A}\) jest zbiorem spójnym. Przez \(\displaystyle{ \overline{\mathbb{C}}}\) rozumiemy sferę Riemanna, czyli uzwarcenie Alexandrowa przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).

[a4karo]

To narysuj ten zbiór i popatrz na jego dopełnienie (punktem w nieskończoności się nie przejmuj)

[Jula9961]

Sam zbiór umiem narysować, ale nie wiem jak to odnieść do sfery Riemanna i w związku z tym jak sprawdzić czy sfera Riemanna po usunięciu tego zbioru jest zbiorem spójnym.

[Dasio11]

A potrafisz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \overline{\CC} \setminus D}\) jest łukowo spójny? Weź dowolne dwa punkty z \(\displaystyle{ \overline{\CC} \setminus D}\) i spróbuj je połączyć drogą nieprzechodzącą przez \(\displaystyle{ D}\). Droga łącząca dany punkt z \(\displaystyle{ \infty}\) to taka, która na jednym z końców rozbiega do nieskończoności.

[Jula9961]

Rozumiem ideę, ale w dalszym ciągu nie wiem, jak miałabym to formalnie zapisać.

[Dasio11]

Rozumowania geometryczne mają to do siebie, że rzadko kiedy zapisuje się je ściśle. ;P

Dlatego myślę, że wystarczy opis w stylu: każdy punkt \(\displaystyle{ z_1 \in \overline{\CC} \setminus \{ z \in \CC : |z| < 4 \}}\) można połączyć z \(\displaystyle{ \infty}\) półprostą rozłączną z \(\displaystyle{ D}\), czyli cały ten zbiór zawiera się w pojedynczej składowej spójności. Z kolei każdy punkt \(\displaystyle{ z_2 \in \{ z \in \CC : |z-2| \le 2 \}}\) można połączyć z punktem \(\displaystyle{ 4i}\) odcinkiem rozłącznym z \(\displaystyle{ D}\), czyli ten zbiór też zawiera się w jednej składowej. A skoro \(\displaystyle{ 4i}\) należy do obu rozważanych zbiorów, to spójna jest ich suma, czyli \(\displaystyle{ \overline{\CC} \setminus D}\).

[Jula9961]

Czy na pewno \(\displaystyle{ \overline{\mathbb{C}} \setminus D}\) jest sumą tych dwóch zbiorów? Przeanalizowałam to na rysunku i wydaję mi się, że jest to iloczyn tych zbiorów.

[Dasio11]

Tak, bo dla \(\displaystyle{ w \in \overline{\CC}}\):

\(\displaystyle{
\begin{align*}
w \in \overline{\CC} \setminus D & \iff w \notin \{ z \in \CC : |z| < 4 \} \setminus \{ z \in \CC : |z-2| \le 2 \} \\[1mm]
& \iff w \in \big( \overline{\CC} \setminus \{ z \in \CC : |z| < 4 \} \big) \vee w \in \{ z \in \CC : |z-2| \le 2 \} \\[1mm]
& \iff w \in \big( \overline{\CC} \setminus \{ z \in \CC : |z| < 4 \} \big) \cup \{ z \in \CC : |z-2| \le 2 \}
\end{align*}}\)

[Jula9961]

Prawda! Mój błąd. Dziękuję bardzo za pomoc

Dodano po 7 minutach 3 sekundach:
Jeszcze jedno pytanie. Dlaczego wnioskujemy że punkt \(\displaystyle{ 4i}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ z \in \mathbb{C}:\left| z-2\right| \le 2 \right\} }\)?

[Dasio11]

Pomyłka, chodziło o liczbę \(\displaystyle{ 4}\).