Czy zachodzi równość?

[Paral]

Czy dla dowolnych liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1, z_2}\) oraz \(\displaystyle{ a ≠ 0}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (a^{z_1})^{z_2} = a^{z_1z_2}}\)?
Niech \(\displaystyle{ z_1 = x + iy, \,\,\, z_2 = c + ib, \,\,\, x,y,c,b \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ L = (a^{z_1})^{z_2} = (e^{z_1\ln a})^{z_2} = (e^{x\ln a + iy\ln a})^{z_2} = [e^{x\ln a}(\cos (y\ln a) + i\sin (y\ln a))]^{z_2}}\)
czy w tym momencie mogę skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ [e^{x\ln a}(\cos (y\ln a) + i\sin (y\ln a))]^{z_2} = e^{z_2x\ln a}(\cos (z_2y\ln a) = i\sin (z_2y\ln a)}\)?

[Dasio11]

Jak definiujesz potęgowanie liczb zespolonych? Jeśli w ten sposób:

\(\displaystyle{ a^z = e^{z \ln a}}\),

to czym dokładnie jest funkcja \(\displaystyle{ \ln}\)?

[Paral]

Jest logarytmem zespolonym liczby \(\displaystyle{ a ≠ 0}\)

[Dasio11]

Ale którym?

[Paral]

Naturalnym oczywiście. Dostałem właśnie link do książki w której jest podany przykład, że ta równość nie zachodzi.

[Dasio11]

W liczbach zespolonych jest mnóstwo logarytmów naturalnych. Są dwa logarytmy główne, zdefiniowane w zależności od dwóch

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Argument_liczby_zespolonej

, określone na \(\displaystyle{ \CC \setminus \{ 0 \}}\) i nieciągłe. Inne są określone na jednospójnych podzbiorach \(\displaystyle{ \CC \setminus \{ 0 \}}\) i ciągłe. Rozważa się też logarytm jako funkcję wielowartościową na \(\displaystyle{ \CC \setminus \{ 0 \}}\) lub określoną na powierzchni Riemanna, która jest nakryciem uniwersalnym \(\displaystyle{ \CC \setminus \{ 0 \}}\).

Tak że zawsze gdy mówisz o logarytmie zespolonym, musisz bardzo dokładnie określić, o jaki logarytm Ci chodzi.