Dowód - równość trygonometryczna.

[Paral]

Wykazać, że:
\(\displaystyle{
\cos(z) = 0 \Leftrightarrow z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\,\,\, k \in \mathbb{Z}.
}\)
Niech \(\displaystyle{ z = x + iy,\,\,\, x,y \in \mathbb{R}. }\)
\(\displaystyle{ \cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \frac{e^{xi - y} + e^{-xi + y}}{2} = \frac{e^{-y}(\cos(x) + i\sin(x)) + e^{y}(\cos(x) - i\sin(x))}{2} = \frac{(e^{-y} + e^{y})\cos(x)}{2} + i \frac{(e^{-y} - e^{y})\sin(x)}{2} = 0,}\) a więc z tego mamy:
\(\displaystyle{ \frac{(e^{-y} + e^{y})\cos(x)}{2} = 0 \,\,\, \wedge \,\,\, \frac{(e^{-y} - e^{y})\sin(x)}{2} = 0, }\) czyli z pierwszego biorąc pod uwagę, że
\(\displaystyle{ (e^{-y} + e^{y}) \neq 0 }\) mamy \(\displaystyle{ \cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \,\,\, k \in \mathbb{Z}}\), a to biorąc pod uwagę w drugim będzie
\(\displaystyle{ (e^{-y} - e^{y}) = 0 \Rightarrow y = 0 }\)
zatem \(\displaystyle{ z = \frac{\pi}{2} + k\pi, \,\,\, k \in \mathbb{Z}. }\)
Powinno mi wyjść \(\displaystyle{ z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\) czy zrobiłem coś źle? A może parzystość ma tutaj jakiś wpływ, który zmieni wynik? Mógłbym prosić o podpowiedź? Dzięki.

[matmatmm]

Powinno wyjść rzeczywiście \(\displaystyle{ z=\frac{\pi}{2}+k\pi}\). Wystarczy popatrzeć na wykres "rzeczywistego" cosinusa.