Liczba pierwiastków wielomianu.

[ShadowWro]

Jak znaleźć liczbę pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ z^4 + 6z +3}\) w dysku \(\displaystyle{ D(0,2)}\) i pierścieniu \(\displaystyle{ A(1,2)}\)?

[Janusz Tracz]

Na brzegu dysku \(\displaystyle{ D}\) mamy szacowanie \(\displaystyle{ \left| 6z+3\right| \le 15 }\) oraz \(\displaystyle{ \left| z^4\right| =16 }\) zatem z

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%27s_theorem

\(\displaystyle{ z^4}\) ma tyle samo pierwiastków co \(\displaystyle{ z^4+6z+3}\) czyli cztery.

[ShadowWro]

Dziękuję.

[Janusz Tracz]

Co do pierścienia \(\displaystyle{ A}\) to jeśli \(\displaystyle{ A=D(0,2) \setminus D(0,1)}\) to chyba wystarczy rozważyć dysk \(\displaystyle{ \left| z\right| \le 1 }\) na brzegu którego mamy:

\(\displaystyle{ 1)}\) \(\displaystyle{ \left| z^4+3\right| \le 4}\)

\(\displaystyle{ 2)}\) \(\displaystyle{ \left| 6z\right|=6 }\)

zatem w \(\displaystyle{ \left| z\right| \le 1 }\) funkcja \(\displaystyle{ 6z}\) ma tyle pierwiastków co \(\displaystyle{ z^4+6z+3}\). Czyli jeden bo \(\displaystyle{ 6z}\) ma po prostu jeden pierwiastek. Zatem w \(\displaystyle{ A}\) są \(\displaystyle{ 3}\) pierwiastki.