Całka po zamknietym konturze z dz

[Mondo]

Witam,

probuję uzsadnić dlaczego całka \(\displaystyle{ \oint_C dz = 0}\). Ponieważ w tej całce mamy cały czas sumę iloczynów \(\displaystyle{ 1 * dz}\) to całka ta będzie równa \(\displaystyle{ 0}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{n} dz_i = 0}\), a ponieważ \(\displaystyle{ dz_i }\) jest wektorem przemieszczającym się po konturze to jego suma może mieć tylko dwa wyniki: \(\displaystyle{ 0}\) gdy kontur nie zawiera początku układu współrzędnych lub \(\displaystyle{ 2 \pi i}\) gdy kontur wykonuje obrót wokół początku układu współrzednych. Tak więc ze względu na te zależnośc, nie widzę dlaczego można od razu przyjąć, że ta całka daje \(\displaystyle{ 0}\). Dlaczego tak jest?

Dziekuję.

[Dasio11]

Jeśli \(\displaystyle{ z : [a, b] \to \CC}\) jest parametryzacją \(\displaystyle{ C}\), a \(\displaystyle{ a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b}\) - dowolnym podziałem, to odpowiadającą mu sumą całkową jest

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n 1 \cdot \big( z(t_i) - z(t_{i-1}) \big) = z(b) - z(a)}\),

a ponieważ krzywa jest zamknięta, więc powyższa różnica jest równa zeru. Nie wiem, skąd bierze Ci się wartość \(\displaystyle{ 2 \pi i}\).

[Mondo]

Okay, moje \(\displaystyle{ 2 \pi i}\) to wynik \(\displaystyle{ \oint_C 1/z dz }\) ale to też tylko jeśli początek układu współrzędnych zawiera się w konturze po którym całkujemy. Jeśli tak nie jest to całka wynosi 0.

Tak wiec dla całki \(\displaystyle{ \oint_C 1/z dz }\) nie jestśmy w stanie podać wyniku, bez znajomości "topologii" konturu, zgadza się?

[Dasio11]

Zgadza się.