Promień zbieżności szeregu potęgowego+parametryzacja krzywej

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Promień zbieżności szeregu potęgowego+parametryzacja krzywej

Post autor: Roshita »

Witam, czy mogłabym prosić o sprawdzenie tych zadań?
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Wyznaczyć promień zbieżności, środek i sumę szeregu:
a)\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(3+i)^n \cdot z^n }\)
\(\displaystyle{ z_0=0}\)
\(\displaystyle{ a_n=(3+i)^n}\)
\(\displaystyle{ \lambda= \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{|(3+i)^n|}= \lim_{ n\to\infty } |3+i|= \sqrt{10} }\)
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{\lambda}= \frac{1}{ \sqrt{10} }= \frac{ \sqrt{10} }{10} }\)
zatem \(\displaystyle{ |z|< \frac{ \sqrt{10} }{10} \Rightarrow | \sqrt{10}z|<1 }\)
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{1- \sqrt{10}z } }\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Podać przykładową parametryzację krzywej.

a) \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x=0}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{2x-x^2} }\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ x(t)=t}\)
\(\displaystyle{ y(t)= \sqrt{2t-t^2} }\)
\(\displaystyle{ z(t)=t+i \sqrt{2t-t^2}, \space t \in (0,2) }\)

b) \(\displaystyle{ z_1=2-3i, \space z_2=-1+5i}\)
\(\displaystyle{ z(t)=z_1+(z_2-z_1)t=2-3i+(-3+8i)t, \space t \in [0,1]}\)

c) \(\displaystyle{ x^2+y^2=4, \space x \le 0}\)
\(\displaystyle{ z(t)=2\cos(t)+2i\sin(t), \space t \in [ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} ] }\)

\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) Rozwinąć funkcję w szereg potęgowy:
\(\displaystyle{ |z|< \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{2+i}{z+1-i}= - \frac{ \frac{1+3i}{2} }{1- \frac{z}{1-i} } =- \frac{1+3i}{2} \sum_{n=0}^{\infty}( \frac{z}{1-i} )^n }\), bo \(\displaystyle{ |z|< \sqrt{2 } \Rightarrow \frac{|z|}{|1-i|}<1 }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Promień zbieżności szeregu potęgowego+parametryzacja krzywej

Post autor: Janusz Tracz »

Roshita pisze: 5 maja 2020, o 18:35 a) \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x=0}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{2x-x^2} }\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ x(t)=t}\)
\(\displaystyle{ y(t)= \sqrt{2t-t^2} }\)
\(\displaystyle{ z(t)=t+i \sqrt{2t-t^2}, \space t \in (0,2) }\)
Taka parametryzacja pokrywa tylko część krzywej bo pierwiastek nie jest jednoznacznie wyznaczony. Sama krzywa jednak jest okręgiem \(\displaystyle{ (x-1)^2+y^2=1}\) wiec standardowo można przyjąć:

\(\displaystyle{ x(t)=1+\cos t}\)

\(\displaystyle{ y(t)=\sin t}\)

\(\displaystyle{ t\in\left[ 0,2\pi\right) }\)

Dodano po 1 minucie 35 sekundach:
reszta (bez dokładnego wczytywania się) wygląda ok.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Promień zbieżności szeregu potęgowego+parametryzacja krzywej

Post autor: a4karo »

Ale w pierwszym przypadku suma nie jest dobrze policzona
ODPOWIEDZ