Całka rzeczywista

[MrCommando]

Mam obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^4}\mbox{d}x}\) za pomocą metod analizy zespolonej.

Rozważamy zatem funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\frac{\mbox{Ln}z}{1+z^4}}\), gdzie w liczniku mamy gałąź główną logarytmu, a następnie ze względu na problem w \(\displaystyle{ z=0}\) dla ustalonych \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) i \(\displaystyle{ R>0}\) definiujemy kontur \(\displaystyle{ \Gamma_1 \cup \Gamma_2 \cup \Gamma_3 \cup \Gamma_4}\), gdzie kolejno \(\displaystyle{ \Gamma_1:=[\varepsilon, R]}\) (odcinek na osi rzeczywistej), \(\displaystyle{ \Gamma_2:=\left\{Re^{i\phi}: 0\leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}}\), \(\displaystyle{ \Gamma_3:=[i\varepsilon,iR]}\) (odcinek na osi urojonej) oraz \(\displaystyle{ \Gamma_4:=\left\{\varepsilon^{i\phi}: 0\leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}}\). Orientujemy kontur dodatnio względem wnętrza. Potem twierdzenie o residuach, wykonujemy odpowiednie rachunki, przechodzimy do granicy i wychodzi
\(\displaystyle{ (1-i)\int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^4}\mbox{d}x+\frac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\frac{\mbox{d}x}{1+x^4}=\frac{\pi^2}{8}e^{i\frac{\pi}{4}}}\).

Wszystko fajnie, można teoretycznie porównać części urojone po obu stronach i mamy wynik, ale efektem ubocznym rachunków było pojawienie się jeszcze jednej całki, której wartości nie znamy (nie wiemy, że ona jest zbieżna i w konsekwencji nie jest oczywiste, że granica po lewej stronie na pewno istnieje). Wygląda na to, że muszę jeszcze teraz specjalnie policzyć tę drugą całkę, a że takie rozwiązanie wygląda na wyjątkowo długie i żmudne to zacząłem się zastanawiać czy to na pewno dobra droga. Może dałoby się zrobić to prościej lub bardziej elegancko?

[Premislav]

Tę całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{\mbox{d}x}{1+x^{4}}}\)
można także obliczyć metodą residuów i z pewnością nie jest to bardzo żmudne, zwłaszcza gdy się zauważy parzystość funkcji podcałkowej. Ponadto do porównania części urojonych potrzebujesz, jak wspominasz, tylko jej zbieżności, a to przecież trywialne, można sobie np. użyć kryterium porównawczego z \(\displaystyle{ \frac{C}{(x+1)^{4}}}\)
Dobrą stałą \(\displaystyle{ C}\) sobie można wziąć z nierówności między średnimi potęgowymi albo dwukrotnego zastosowania \(\displaystyle{ a^2+b^2\ge\frac{(a+b)^2}{2}}\)
albo po prostu użyć kryterium porównawczego w wersji asymptotycznej i olać elementarne nierówności.

NB w definicji \(\displaystyle{ \Gamma_{4}}\) chyba miało być \(\displaystyle{ \varepsilon e^{i\phi}}\) ale to raczej literówka bez wpływu na rozwiązanie zadania. Poza tym taki kontur, jak napisałeś, jest dość naturalny.

[MrCommando]

Dzięki za odpowiedź (mimo, że spóźniona), jednak jakiś czas po dodaniu tego posta zauważyłem, że rzeczywiście zbieżność tej całki wynika trywialnie z kryterium porównawczego (najwyraźniej miałem jakieś zaćmienie umysłu, cokolwiek ).

W sumie nawet raczej jeszcze bardziej prosto niż proponujesz, gdyż całka \(\displaystyle{ \int_1^{\infty} \frac{\mbox{d}x}{1+x^4}}\) jest zbieżna, bo możemy ją porównać z całką \(\displaystyle{ \int_1^{\infty} \frac{\mbox{d}x}{x^4}}\). Natomiast na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) nasza funkcja jest ciągła i ograniczona.