Dowód równości

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Dowód równości

Post autor: MrCommando »

Zadanie: całkując funkcję \(\displaystyle{ f(\phi)=\frac{1}{\sin \phi(\phi^2-z^2)}}\) po odpowiednim konturze wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin z}=\frac{1}{z}-2z\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2\pi^2-z^2}}\),
gdzie \(\displaystyle{ z\neq k\pi}\), \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\)

Nie mam pojęcia skąd wytrzasnąć ten kontur. Jaka intuicja tu jest potrzebna? Rozważając różnego rodzaju okręgi nie dostałem nic sensownego, korzystając z twierdzenia o residuach jedynie dostałem coś podobnego do sumy częściowej tego szeregu wyżej, ale z czynnikiem \(\displaystyle{ (-1)^n}\). Dzięki z góry za pomoc.

Dodano po 1 godzinie 49 minutach 22 sekundach:
Znalazłem jeszcze tutaj

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem#An_infinite_sum
sposób obliczania sum szeregów za pomocą twierdzenia o residuach. Jednak nie rozumiem dlaczego w rozwiązaniu tego przykładu wzięła się ta skończona suma odwrotności kwadratów. Mam wrażenie, że ta metoda byłaby przydatna, ale nie rozumiem zamysłu.

Dodano po 37 minutach 12 sekundach:
EDIT 2: Dobra, suma kwadratów już wiem skąd się wzięła - zakręciłem się w rachunkach. Jednak nie mam pojęcia jak to zastosować w tym zadaniu, udało mi się policzyć tylko sumę szeregu naprzemiennego.
ODPOWIEDZ