Dzień dobry. Czy moglibyście mi powiedzieć jak obliczyć
\(\displaystyle{ res\left( \frac{1}{(z^{20}-1)(z-3),\infty} \right) }\)
Jedyną pokazaną metodą jest wykorzystanie wzoru który przekształca residuum w nieskończoności na residuum w zerze więc zakładam że da się go tutaj użyć.
Mój problem wynika z braku bieguna w 0 zatem \(\displaystyle{ k=0}\) więc we wzorze otrzymuje \(\displaystyle{ \frac{ \dd ^{-1}}{ \dd z^{-1}} }\). Więc albo mam policzyć całkę albo coś w definicji sprawia że wynik jest jasny (strzelam że albo nie istnieje residuum albo =0). Niestety nwm która z tych opcji jest prawidłowa.
oblicz residuum w punkcie gdzie nie ma bieguna
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: oblicz residuum w punkcie gdzie nie ma bieguna
Residuum to \(\displaystyle{ 0}\). Jeśli \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z^{20}-1)(z-3)}}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{z^2}f\left( \frac{1}{z} \right) }\) ma w \(\displaystyle{ z=0}\) rozwinięcia w szereg zaczynające się od \(\displaystyle{ z^{19}}\) (przy wszystkich \(\displaystyle{ z^{k}}\) dla \(\displaystyle{ k \le 18}\) stoi zero) zatem przy \(\displaystyle{ z^{-1}}\) też stoi zero. Albo bez tego (to znaczy na \(\displaystyle{ \Res}\) w \(\displaystyle{ \infty }\)) wzoru można zauważyć, że dla dużych (w sensie modułu \(\displaystyle{ z}\)) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(z^{20}-1)(z-3)} \approx \frac{1}{z^{21}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(z^{20}-1)(z-3)} \approx \frac{1}{z^{21}}}\)