Zbieżność szeregu zespolonego

[Roshita]

Witam, czy jest to poprawnie rozwiązane?
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{3n+4in}{n+2})^{n^2} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{3n+4in}{3n+2})^{n^2}= \lim_{ n\to \infty } ( \frac{3+4i}{3+ \frac{2}{n} })^{n^2}= \infty }\)-(niespełniony warunek konieczny)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-i)^n}{n!} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(1-i)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(1-i)^n}= \lim_{n \to \infty } \frac{1-i}{n+1} =0<1 }\)-zbieżny na mocy kryterium d'Alemberta
c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2i+3}{4i-3})^n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\frac{2i+3}{4i-3})^n} = \lim_{ n\to \infty} \frac{2i+3}{4i-3}=\frac{2i+3}{4i-3} \cdot \frac{4i+3}{4i+3}=-\frac{18i+1}{25}<1}\) -zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego
d) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+i}{\ln(1+n)} }\)-a tutaj brakuje mi pomysłu, obstawiam kryterium porównawcze, ale nie mogę wpaść na to co dalej

[a4karo]

c) czy liczba zespolona może być mniejsza lub większa od jedynki? Przeczytaj jak brzmią kryteria zbieżność w przypadku szeregów zespolonych

d) aby szereg zespolony był zbieżny zbieżny musi być szereg części rzeczywistych i części urojonych

[Roshita]

W takim razie c)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ (\frac{2i+3}{4i-3})^n } = \lim_{ n\to \infty } |\frac{2i+3}{4i-3})^n|=\lim_{ n\to \infty } \frac{|2i+3|}{|4i-3|} =\lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{4+9} }{ \sqrt{16+9} } = \frac{ \sqrt{13} }{5} <1}\) nie dopatrzyłam tego modułu

[a4karo]

W a) i b) to samo (choć tam to nie uczyniło szkody)

[Roshita]

Hmmm a w d) będzie
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \frac{2}{\ln(1+n)} \cdot \lim_{ n\to \infty } \frac{i}{\ln(1+n)}= \lim_{ n\to \infty} \frac{2}{ \infty } \cdot i \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\infty}=0\cdot0=0 }\) ?

[Janusz Tracz]

Hmmm a w d) będzie
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \frac{2}{\ln(1+n)} \cdot \lim_{ n\to \infty } \frac{i}{\ln(1+n)}= \lim_{ n\to \infty} \frac{2}{ \infty } \cdot i \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{\infty}=0\cdot0=0 }\) ?

Tak (choć zapis jest błędny), ale to jest tylko warunek konieczny i jest on spełniony więc nic nie wiadomo o zbieżności. Zauważ, że:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+i}{\ln(1+n)} = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{\ln(1+n)} +i \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\ln(1+n)} }\)

co powiesz o \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{\ln(1+n)} }\)? Jest to zbieżny szereg? (wskazówka \(\displaystyle{ \ln (1+n) \le n}\))

Dodano po 3 minutach 35 sekundach:
W \(\displaystyle{ b}\) można nawet obliczyć sumę tego szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-i)^n}{n!} =e^{1-i} }\)

zatem

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-i)^n}{n!} =e^{1-i}-1}\)

[Roshita]

\(\displaystyle{ \frac{2}{\ln(1+n)} \ge \frac{2}{n} }\) a \(\displaystyle{ \frac{2}{n} }\) jest rozbieżny, czyli cały szereg też będzie rozbieżny.