Znaleźć obszar zbieżności szeregów Laurenta

[shreder221]

Dzień dobry.
Mam zadanie
Znaleźć obszar zbieżności szeregów Laurenta Dla
\(\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n}(z-z_{0})^{n} }\)
W zależności od wartości q.
Jako wskazówkę mam wzór na promienie zbieżności \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r}\).

I mam wrażenie że coś źle policzyłem bo \(\displaystyle{ r=R}\) co jeśli dobrze to rozumiem oznacza że szereg taki nie jest zbieżny. Dlatego proszę na rzucenie okiem na moje rozwiązanie i stwierdzenie co z tym zrobić.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ r = \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{1}{q^n(z-z_0)^n} \right|^{1/n} = \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{1}{q(z-z_0)}\right|= \left| \frac{1}{q(z-z_0)}\right|}\)
do ostatniego kroku mam spore wątpliwości bo nie do końca rozumiem zapis
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty}}\)


\(\displaystyle{ R^{-1}= \limsup_{n \to \infty} \left| q^n(z-z_0)^n \right|^{1/n}=
\limsup_{n \to \infty} \left| q(z-z_0) \right|= \left| q(z-z_0) \right| \\[1ex]
R=\left| \frac{1}{q(z-z_0)}\right|}\)

[Dasio11]

Wniosek końcowy jest poprawny, ale metoda już nie. We wzorach na promienie zbieżności nie występuje \(\displaystyle{ z-z_0}\).

Ale zamiast tych wzorów wystarczy kryterium zbieżności ciągu geometrycznego, z którego wynika że część główna szeregu jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |q(z-z_0)|<1}\), a część osobliwa dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ |q(z-z_0)| > 1}\). Widać więc, że obie części nie mogą nigdy zbiegać jednocześnie.

[shreder221]

Wniosek końcowy jest poprawny, ale metoda już nie. We wzorach na promienie zbieżności nie występuje \(\displaystyle{ z-z_0}\).

Coś mi się pomieszał z postacią wzoru laurenta :p i jako\(\displaystyle{ a_{n}}\) brałem wszystko pod znakiem sumy. Ale można po prostu skreślić czynniki \(\displaystyle{ z-z_0}\) i wyniki będą chyba prawidłowe.

Ale zamiast tych wzorów wystarczy kryterium zbieżności ciągu geometrycznego, z którego wynika że część główna szeregu jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |q(z-z_0)|<1}\), a część osobliwa dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ |q(z-z_0)| > 1}\). Widać więc, że obie części nie mogą nigdy zbiegać jednocześnie.

Czy dobra droga do uzyskania szeregów geometrycznych?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{
\sum_{-\infty}^{\infty} [q(z-z_{0})]^n=\sum_{0}^{\infty} [q(z-z_{0})]^n-\sum_{1}^{-\infty} [q(z-z_{0})]^n=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{0}^{\infty} [q(z-z_{0})]^n-\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{-n}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{n-1}-\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{-n}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{n-1}-q(z-z_{0})\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{-n+1}=}\)

Tutaj dochodzimy do podanych przez ciebie ograniczeń:
Na r:\(\displaystyle{ |q(z-z_0)|<1}\)
Na R: \(\displaystyle{ |q(z-z_0)| > 1}\)

Jak rozumiem przenosimy część z \(\displaystyle{ q}\) na drugą stronę i uzyskujemy te same promienie co wcześniej bezpośrednio z wzoru na promienie zbieżności?

[Dasio11]

Przekształcenia niezbyt Ci wyszły, ale ogólny schemat postępowania jest dobry.

[shreder221]

Zawsze miałem problem z przekształceniem szeregów ;( w którym miejscu się pomyliłem? Czy chodzi o:
\(\displaystyle{ \sum_{0}^{\infty} [q(z-z_{0})]^n-\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{-n}=\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{n-1}-\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{-n}}\)

Bo to głównie przez to przekształcenie je napisałem do sprawdzenia. Bo rozmyślałem nad zapisaniem tego jako

\(\displaystyle{ \sum_{0}^{\infty} [q(z-z_{0})]^n-\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{-n}=q(z-z_{0})\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{n-1}+1-\sum_{1}^{\infty} [q(z-z_{0})]^{-n}}\)

I przy przekształcaniu drugiego szeregu zamiast iloczynu powinien chyba być ułamek

Dodano po 7 minutach 47 sekundach:
I jeszcze jedno pytanie czy przy zastosowaniu wzoru na promień nie pomyliłem się czasem w dwóch kwestiach? Pierwsza to wspomniana przez ciebie obecność \(\displaystyle{ [z-z_0]}\)
Drugą jest ostatnie przekształcenie na r i na R. Czy w wyniku działania \(\displaystyle{ \limsup}\) nie powinny spaść moduły? Tak że nasze \(\displaystyle{ r=R=\frac{1}{q}}\)