Funkcja całkowita.

[ShadowWro]

Jak udowodnić taką implikację?
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) całkowita spełnia \(\displaystyle{ |f(z)|>1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest stała.

[Premislav]

\(\displaystyle{ g(z)=\frac{1}{f(z)}}\) jest ograniczoną funkcją całkowitą, twierdzenie Liouville'a, fiku miku i koniec.

[ShadowWro]

A jeśli zamiast warunku, że moduł tej funkcji jest większy od jedynki mamy, że część urojona jest większa od zera? To co wtedy?

[Premislav]

Zabawne. To bodajże jest zadanie, przez które miałem czwórkę z funkcji analitycznych kilka lat temu, bo nie umiałem go zrobić. Oto magiczne rozwiązanie, pomysł nie jest mój: rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g(z)=e^{i\cdot f(z)}}\). Jest ona też holomorficzna, skoro \(\displaystyle{ f}\) taka jest (złożenie funkcji holomorficznych), no i jej moduł jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\).
Z twierdzenia Liouville'a otrzymujemy więc, że jest stała. No i teraz jeszcze trzeba wytłumaczyć, czemu stąd \(\displaystyle{ f}\) jest stała, trudne to nie jest. Ja to skończyłem po prostym spostrzeżeniu z Cauchy'ego-Riemanna, ale pewnie nawet tak nie trzeba i to świadectwo mojej głupoty.

[Dasio11]

Pomysł z funkcją \(\displaystyle{ e^{if(z)}}\) jest elegancki, ale w rzeczywistości założenia można bardzo osłabić - jeśli tylko obraz funkcji całkowitej \(\displaystyle{ f}\) nie jest gęsty, to już musi to być funkcja stała. Wtedy bowiem istnieją \(\displaystyle{ a \in \CC}\) i \(\displaystyle{ r > 0}\), takie że \(\displaystyle{ |f(z)-a| \ge r}\) dla \(\displaystyle{ z \in \CC}\) i tezę daje rozważenie funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{f(z)-a}}\).

Co więcej: z twierdzenia Picarda można wywnioskować, że niestała funkcja całkowita przyjmuje wszystkie wartości z wyjątkiem co najwyżej jednej, ale to dużo trudniejszy wynik.