Czy funkcja różniczkowalna
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Czy funkcja różniczkowalna
Dzień dobry.
Czy moglibyście mi powiedzieć jak sprawdzić czy funkcja jest różniczkowalna używając granicy \(\displaystyle{ \lim_{ z\to z_{0}}\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\) ?
\(\displaystyle{ f(z)=(x^{3}-3xy^{2})+i(3x^2y-y^3)}\)
Podstawiamy
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}(z+\bar z)}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}(z-\bar z)}\)
I otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(-z^3+3z\bar z^{2})}\)
Co wstawiamy do granicy
\(\displaystyle{ \lim_{ z\to z_{0}}\frac {-z^3+3z\bar z^{2}+z_{0}^3-3z_{0}\bar z_{0}^{2}}{z-z_{0}}}\)
I teraz nie mam zielonego pojęcia co ja mam z tym dalej zrobić ;(
Czy moglibyście mi powiedzieć jak sprawdzić czy funkcja jest różniczkowalna używając granicy \(\displaystyle{ \lim_{ z\to z_{0}}\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\) ?
\(\displaystyle{ f(z)=(x^{3}-3xy^{2})+i(3x^2y-y^3)}\)
Podstawiamy
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}(z+\bar z)}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}(z-\bar z)}\)
I otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(-z^3+3z\bar z^{2})}\)
Co wstawiamy do granicy
\(\displaystyle{ \lim_{ z\to z_{0}}\frac {-z^3+3z\bar z^{2}+z_{0}^3-3z_{0}\bar z_{0}^{2}}{z-z_{0}}}\)
I teraz nie mam zielonego pojęcia co ja mam z tym dalej zrobić ;(
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Czy funkcja różniczkowalna
\(\displaystyle{ { \lim_{ z\to z_{0}}\frac {-z^3+3z\bar z^{2}+z_{0}^3-3z_{0}\bar z_{0}^{2}}{z-z_{0}}}={ \lim_{ z\to z_{0}}\frac {-z^3+z_{0}^3+3z\bar z^{2}-3z_0\bar{z}^2+3z_0\bar{z}^2-3z_{0}\bar z_{0}^{2}}{z-z_{0}}}}\)
I teraz wyłącz \(z-z_0\) z pierwszych dwóch par, a \(\overline{z-z_0}\) z trzeciej.
I teraz wyłącz \(z-z_0\) z pierwszych dwóch par, a \(\overline{z-z_0}\) z trzeciej.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Czy funkcja różniczkowalna
Lepiej przelicz jeszcze raz.shreder221 pisze: ↑30 mar 2020, o 23:48I otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(-z^3+3z\bar z^{2})}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Czy funkcja różniczkowalna
Rzeczywiście. źle skróciłem jednostki urojone.
wychodzi \(\displaystyle{ z^3}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{z^{3}-z_{0}^{3}}{z-z_{0}} \to z^{2}+z z_{0} +z_{0}^{3}}\) więc pochodna istnieje.
Jak zwykle głupie błędy obliczeniowe zabierają czas ;(
Dodano po 49 minutach 45 sekundach:
\(\displaystyle{ \frac{\overline{z-z_{0}}}{z-z_{0}}}\)
PS.
Dobrze wiedzieć że do użycia bara na kilka wyrazów potrzeba innej komendy niż \bar
wychodzi \(\displaystyle{ z^3}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{z^{3}-z_{0}^{3}}{z-z_{0}} \to z^{2}+z z_{0} +z_{0}^{3}}\) więc pochodna istnieje.
Jak zwykle głupie błędy obliczeniowe zabierają czas ;(
Dodano po 49 minutach 45 sekundach:
A mógłbyś mi jeszcze napisać na wypadek gdyby taki przypadek mi się pojawił ile wynosi dzielenie
\(\displaystyle{ \frac{\overline{z-z_{0}}}{z-z_{0}}}\)
PS.
Dobrze wiedzieć że do użycia bara na kilka wyrazów potrzeba innej komendy niż \bar
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Czy funkcja różniczkowalna
Rozumiem dlaczego ma moduł 1. Ale czy mógłbym się mi jeszcze dowiedzieć dlaczego nie ma granicy?
Czyli wyrażenie
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(-z^3+3z\bar z^{2})}\)
nie jest różniczkowalne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie jest funkcją holomorficzną?
Czyli wyrażenie
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(-z^3+3z\bar z^{2})}\)
nie jest różniczkowalne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie jest funkcją holomorficzną?
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy