Czy funkcja różniczkowalna

[shreder221]

Dzień dobry.
Czy moglibyście mi powiedzieć jak sprawdzić czy funkcja jest różniczkowalna używając granicy \(\displaystyle{ \lim_{ z\to z_{0}}\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\) ?

\(\displaystyle{ f(z)=(x^{3}-3xy^{2})+i(3x^2y-y^3)}\)
Podstawiamy
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}(z+\bar z)}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}(z-\bar z)}\)
I otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(-z^3+3z\bar z^{2})}\)
Co wstawiamy do granicy

\(\displaystyle{ \lim_{ z\to z_{0}}\frac {-z^3+3z\bar z^{2}+z_{0}^3-3z_{0}\bar z_{0}^{2}}{z-z_{0}}}\)

I teraz nie mam zielonego pojęcia co ja mam z tym dalej zrobić ;(

[a4karo]

\(\displaystyle{ { \lim_{ z\to z_{0}}\frac {-z^3+3z\bar z^{2}+z_{0}^3-3z_{0}\bar z_{0}^{2}}{z-z_{0}}}={ \lim_{ z\to z_{0}}\frac {-z^3+z_{0}^3+3z\bar z^{2}-3z_0\bar{z}^2+3z_0\bar{z}^2-3z_{0}\bar z_{0}^{2}}{z-z_{0}}}}\)
I teraz wyłącz \(z-z_0\) z pierwszych dwóch par, a \(\overline{z-z_0}\) z trzeciej.

[Dasio11]

I otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(-z^3+3z\bar z^{2})}\)

Lepiej przelicz jeszcze raz.

[shreder221]

Rzeczywiście. źle skróciłem jednostki urojone.

wychodzi \(\displaystyle{ z^3}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{z^{3}-z_{0}^{3}}{z-z_{0}} \to z^{2}+z z_{0} +z_{0}^{3}}\) więc pochodna istnieje.

Jak zwykle głupie błędy obliczeniowe zabierają czas ;(

Dodano po 49 minutach 45 sekundach:

\(\displaystyle{ { \lim_{ z\to z_{0}}\frac {3z_0\bar{z}^2-3z_{0}\bar z_{0}^{2}}{z-z_{0}}}}\)
I teraz wyłącz \(\overline{z-z_0}\) z trzeciej.

A mógłbyś mi jeszcze napisać na wypadek gdyby taki przypadek mi się pojawił ile wynosi dzielenie
\(\displaystyle{ \frac{\overline{z-z_{0}}}{z-z_{0}}}\)

PS.
Dobrze wiedzieć że do użycia bara na kilka wyrazów potrzeba innej komendy niż \bar

[a4karo]

To wyrażenie ma moduł 1 i nie ma granicy

[shreder221]

Rozumiem dlaczego ma moduł 1. Ale czy mógłbym się mi jeszcze dowiedzieć dlaczego nie ma granicy?


Czyli wyrażenie
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}(-z^3+3z\bar z^{2})}\)
nie jest różniczkowalne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie jest funkcją holomorficzną?

[a4karo]

Zobacz ja zmienia się ta wartość gdy zbliżasz się wzdłuż różnych prostych przechodzących przez `z_0`

[shreder221]

Dobra chyba widzę o co chodzi dziękuję a4karo