Znaleźć parametryzację krzywej w \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) powstałej z przecięcia płaszczyzny \(\displaystyle{ z = 0}\) z prostymi stycznymi do helisy
wektor \(\displaystyle{ r(u) = (\cos u, \sin u, u)}\)
Problem z zadaniem - parametryzacja krzywej; przecięcie płaszczyzny
-
spellthy
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 18 mar 2020, o 10:18
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 1 raz
Problem z zadaniem - parametryzacja krzywej; przecięcie płaszczyzny
Ostatnio zmieniony 18 mar 2020, o 13:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Problem z zadaniem - parametryzacja krzywej; przecięcie płaszczyzny
Wektor styczny do helisy w punkcie \(\displaystyle{ (\cos u_0, \sin u_0, u_0)}\) to \(\displaystyle{ \left[ -\sin u, \cos u, 1\right]_{u=u_0} }\) co daje styczną :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\cos u_0-(\sin u_0 ) t \\ y=\sin u_0+(\cos u_0)t \\ z=u_0+t \end{cases} }\).
Skoro \(\displaystyle{ z=0}\) to \(\displaystyle{ u_0=-t}\) , więc szukana krzywa ma równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\cos t+t \sin t \\ y=-\sin t+t\cos t \\ z=0 \end{cases} }\)
Tak na oko, to krzywą są dwie (symetryczne względem osi OX) spirale.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\cos u_0-(\sin u_0 ) t \\ y=\sin u_0+(\cos u_0)t \\ z=u_0+t \end{cases} }\).
Skoro \(\displaystyle{ z=0}\) to \(\displaystyle{ u_0=-t}\) , więc szukana krzywa ma równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\cos t+t \sin t \\ y=-\sin t+t\cos t \\ z=0 \end{cases} }\)
Tak na oko, to krzywą są dwie (symetryczne względem osi OX) spirale.