Analityczność funkcji.

[nowicjusz754]

Bardzo prosiłbym o pomoc, z racji tego, że ogólnie rozumiem temat, ale nie bardzo wiem jak policzyć konkretne przykłady które są mi naprawdę potrzebne. Poniżej zamieszczam część z nich. Jeśli jest to możliwe prosiłbym bardzo o rozwiązanie krok po kroku, jednak sama wskazówka czy też ukierunkowanie może być dla mnie zbawienne, więc za wszelką pomoc również dziękuję.

Zad. 3
Wyznaczyć funkcję analityczną dla której część urojona przyjmuje wartość:
\(\displaystyle{ v\left(x,y\right)=e^{2x}\cdot \sin\left(2y\right)+x^2-y^2}\)

Zad. 4
Sprawdź analityczność funkcji:
\(\displaystyle{ f\left(z\right)=\frac{z+1}{z}}\)


Zadania 3 oraz 4 są dla mnie kompletnie nieznane i nie mam pojęcia jak je ugryźć. Byłbym wdzięczny za jakąkolwiek pomoc.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 3)}\) Musisz zadbać o to aby warunek Cauchy’ego-Riemanna był spełniony to znaczy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial u}{ \partial x} = \frac{ \partial v}{ \partial y} \\ \frac{ \partial u}{ \partial y} = -\frac{ \partial v}{ \partial x} \end{cases} }\)

masz dane prawe strony tych równań. Funkcję \(\displaystyle{ u(x,y)}\) dostaniesz poprzez całkowanie równań.

\(\displaystyle{ 4)}\) Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(z)= 1+ \frac{1}{z} }\) więc funkcja jest swoim rozwinięciem w szereg Laurenta o niezerowej części osobliwej. W każdym obszarze zawierającym punkt \(\displaystyle{ z=0}\) funkcja nie jest analityczna.

[Dasio11]

więc funkcja jest swoim rozwinięciem w szereg Laurenta o niezerowej części osobliwej.

A co ma wspólnego rozwijanie w szereg Laurenta z analitycznością?

W każdym obszarze zawierającym punkt \(\displaystyle{ z=0}\) funkcja nie jest analityczna.

Badanie analityczności ma sens tylko w punktach należących do dziedziny funkcji, więc wspominanie przy tej okazji o punkcie \(\displaystyle{ z=0}\) jest nie na temat.

[Janusz Tracz]

A co ma wspólnego rozwijanie w szereg Laurenta z analitycznością?

Chodziło mi o to, że całka po konturze zamkniętym obejmującym taki punkt (tu \(\displaystyle{ z=0}\)) nie zeruje się więc analityczności nie ma na zbiorach do których należy \(\displaystyle{ z=0}\). To jest warunek konieczny analityczności a tu spełniony nie jest. Chciałem tym pokazać, że w \(\displaystyle{ z=0}\) mamy biegun. Jednak:

Badanie analityczności ma sens tylko w punktach należących do dziedziny funkcji

Zgada się. Jak w takim razie formalnie to powiedzieć? Funkcja jest analityczna na dowolnym zbiorze jednospójnym \(\displaystyle{ D \subset \CC \setminus \left\{ 0\right\} }\). Bo spełnione są warunki Cauchy’ego-Riemanna oraz pochodne są ciągłe.

sprawdzenie warunków Cauchy’ego-Riemanna:    

\(\displaystyle{ f(z)=1+ \frac{1}{z} =1+ \frac{z^*}{|z|^2} = 1+ \frac{x}{x^2+y^2}+i \frac{-y}{x^2+y^2} }\)
sprawdzamy

\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x} \left( 1+ \frac{x}{x^2+y^2}\right) =\frac{ \partial }{ \partial y} \left(\frac{-y}{x^2+y^2} \right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}\left( \frac{-y}{x^2+y^2} \right)=-\frac{ \partial }{ \partial y}\left( 1+ \frac{x}{x^2+y^2}\right) }\)

po obliczeniach wychodzi jest jest to prawda dla dolnych \(\displaystyle{ x,y}\) różnych od zera.

Tak będzie ok?

[Dasio11]

Chodziło mi o to, że całka po konturze zamkniętym obejmującym taki punkt (tu \(\displaystyle{ z=0}\)) nie zeruje się więc analityczności nie ma na zbiorach do których należy \(\displaystyle{ z=0}\). To jest warunek konieczny analityczności a tu spełniony nie jest.

Mógłbyś sformułować ten warunek konieczny? Wygląda cokolwiek podejrzanie.

Zgada się. Jak w takim razie formalnie to powiedzieć?

Moim zdaniem najprościej jest tak: z definicji łatwo sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w każdym punkcie \(\displaystyle{ z_0 \in \CC \setminus \{ 0 \}}\), więc jest holomorficzna. Dalsza część zależy od nazewnictwa: jeśli uważać analityczność za synonim holomorficzności, to koniec, a w przeciwnym razie należy powołać się na klasyczne twierdzenie mówiące, że każda funkcja holomorficzna jest też analityczna.

A sprawdzenie wygląda tak:

\(\displaystyle{ \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z \to z_0} \frac{ \left(1+\frac{1}{z}\right) - \left(1+\frac{1}{z_0}\right)}{z-z_0} = \lim_{z \to z_0} -\frac{1}{z z_0} = -\frac{1}{(z_0)^2}}\)

[Janusz Tracz]

Chyba widzę skąd nieporozumienie. To jest problem semantyczny tego typu (choć nie wykluczam swojej niewiedzy):

Czy funkcja \(\displaystyle{ h(x)= \frac{1}{x} }\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x=0}\).

Franciszek Leja pisząc "rachunek różniczkowy i całkowy" powiedział, że \(\displaystyle{ h(x)}\) nie jest ciągła: bo \(\displaystyle{ 0}\) nie jest w dziedzinie. Walter Rudin pisał, że takie pytanie nie ma sensu bo \(\displaystyle{ 0}\) nie jest w dziedzinie (parafraza, książki nie pamiętam). Tu jest podobnie. Ty twierdzisz, że mowa o analityczności w \(\displaystyle{ z=0}\) nie ma sensu, a ja chciałem pokazać, że funkcja jest wszędzie analityczna poza zerem. Więc wydaje mi się, że częścią wspólna naszych wypowiedzi jest stwierdzenie, że funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) jest analityczna na \(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\} }\) jednak ja dopowiedziałem, że dla \(\displaystyle{ 0}\) analityczności nie ma bo \(\displaystyle{ 0}\) jest poza dziedziną, a Ty pytanie o analityczność w \(\displaystyle{ z=0}\) w ogóle odrzucasz. I powiem szczerze, że Twoje podejście nawet mi się bardziej podoba.

Mógłbyś sformułować ten warunek konieczny? Wygląda cokolwiek podejrzanie.

Tak. Proszę przyjmij chwilowo "moją" interpretację czyli taką, że jeśli punkt \(\displaystyle{ z_0}\) nie należy do dziedziny to funkcja nie jest tam analityczna. Zauważmy, że całka po krzywej zamkniętej z funkcji analitycznej określonej na pewnym podzbiorze \(\displaystyle{ \CC}\) zeruje się (oczywiście krzywa mieście się w ów podzbiorze). Tu całka po dowolnym okręgu o środku w \(\displaystyle{ z=0}\) nie będzie się zerować zatem nie ma analityczności. Takie rozumowanie nie przechodzi jeśli posłużymy się "Twoją" interpretacją ze względu na brak jednostajności podzbioru w którym zawarta jest krzywa po jakiej całkujemy. Ja jednostajności nie wymagałem.

[Dasio11]

Czy funkcja \(\displaystyle{ h(x)= \frac{1}{x} }\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x=0}\).

Franciszek Leja pisząc "rachunek różniczkowy i całkowy" powiedział, że \(\displaystyle{ h(x)}\) nie jest ciągła: bo \(\displaystyle{ 0}\) nie jest w dziedzinie.

Ok, na siłę można się umówić, że w punktach spoza dziedziny funkcję nazwiemy nieciągłą, choć w takim razie musimy też uznać, że pierwiastek jest nieciągły w punkcie \(\displaystyle{ -7}\), co dla mnie wygląda sztucznie. Ale nawet wtedy Twoja wcześniejsza odpowiedź jest nie na temat, bo pytanie nie było o analityczność funkcji w każdym punkcie \(\displaystyle{ \CC}\), tylko o analityczność w ogóle - a tę zawsze definiuje się jako analityczność w każdym punkcie dziedziny.

Proszę przyjmij chwilowo "moją" interpretację czyli taką, że jeśli punkt \(\displaystyle{ z_0}\) nie należy do dziedziny to funkcja nie jest tam analityczna. Zauważmy, że całka po krzywej zamkniętej z funkcji analitycznej określonej na pewnym podzbiorze \(\displaystyle{ \CC}\) zeruje się (oczywiście krzywa mieście się w ów podzbiorze).

Cytowane stwierdzenie jest ewidentnie nieprawdziwe i przy "Twojej", i "mojej" interpretacji, o czym świadczy właśnie funkcja \(\displaystyle{ f(z) = 1+\frac{1}{z}}\) (albo prościej: \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\)), która w zbiorze \(\displaystyle{ \CC \setminus \{ 0 \}}\) niewątpliwie jest i określona, i analityczna, lecz ma niezerową całkę po okręgu jednostkowym.

Poza tym: nawet gdyby badanie analityczności w zerze było na temat, i nawet gdyby powyższe stwierdzenie było prawdziwe, to wciąż - liczenie całki tylko po to, by stwierdzić brak analityczności w punkcie \(\displaystyle{ z = 0}\), w którym funkcja nawet nie jest określona, jest pomysłem mocno nieoptymalnym.

Takie rozumowanie nie przechodzi jeśli posłużymy się "Twoją" interpretacją ze względu na brak jednostajności podzbioru w którym zawarta jest krzywa po jakiej całkujemy. Ja jednostajności nie wymagałem.

Dodatkowe założenie jednospójności obszaru uczyniłoby wyżej omawiane stwierdzenie prawdziwym, ale nie rozumiem, co to ma wspólnego z dyskutowaną wyżej konwencją ("Twoją" czy "moją").

[Janusz Tracz]

Ok, na siłę można się umówić, że w punktach spoza dziedziny funkcję nazwiemy nieciągłą, choć w takim razie musimy też uznać, że pierwiastek jest nieciągły w punkcie \(\displaystyle{ -7}\), co dla mnie wygląda sztucznie.

Zgadzam się. Dla mnie to też trochę sztuczne. Dlatego już nie stosuję tej konwencji przy badaniu ciągłości, od kiedy podobne nieporozumienie wynikało z JK. Wytłumaczył on wtedy jak na matematykę patrzą analitycy a jak troriomnogościowcy (niestety nie umiem znaleźć tego postu). Wtedy też uznałem, że bardziej eleganckie i naturalne jest podejście Rudina. Pytanie więc dlaczego tu postąpiłem inaczej. Odpowiedź jest prosta: bo jestem niekonsekwentny i na tyle ograniczony, że nie zauważyłem, że jest to sytuacja zupełnie analogiczna. Dopiero gdy pisałem post zaczynający się "Chyba widzę skąd nieporozumienie. To jest problem semantyczny tego typu..." dotarło do mnie co jest istotne i, że rzeczy mają się tu analogicznie jak do tej ciągłości.

Twoja wcześniejsza odpowiedź jest nie na temat, bo pytanie nie było o analityczność funkcji w każdym punkcie \(\displaystyle{ \CC}\), tylko o analityczność w ogóle - a tę zawsze definiuje się jako analityczność w każdym punkcie dziedziny.

Forsujesz tym samym swoje podejście które już uznałem za "lepsze" ale to nie oznacza, że to co powiedziałem nie miało sensu bo oceny dokonałeś post factum. Pamiętaj, że pisząc pierwszy post korzystałem z "mojej" interpretacji a autor nie mówił nic o sprawdzaniu analityczności na \(\displaystyle{ \CC}\) czy czymkolwiek innym np. \(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\} }\). Więc argument był w skrócie taki \(\displaystyle{ z=0}\) nie należy do dziedziny więc \(\displaystyle{ f(z)}\) nie jest analityczna na \(\displaystyle{ \CC}\). Przy czym to ja założyłem, że sprawdzam analityczność na \(\displaystyle{ \CC}\) autor nic nie powiedział o żadnym zbiorze. Pisząc, że zakładając \(\displaystyle{ \CC}\) popełniam błąd bo powinienem wybrać \(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\} }\) narzucasz mi "Twoją" interpretację mimo, że proszę abyś spojrzał na to co napisałem przez pryzmat "mojej".

Cytowane stwierdzenie jest ewidentnie nieprawdziwe i przy "Twojej", i "mojej" interpretacji, o czym świadczy właśnie funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\)
(albo prościej: \(\displaystyle{ 1/z}\)), która w zbiorze \(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\} }\) niewątpliwie jest i określona, i analityczna, lecz ma niezerową całkę po okręgu jednostkowym.

Tak ale ja miałem na myśli analityczność na \(\displaystyle{ \CC}\) gdy to pisałem więc jeśli chcesz oceniać sensowność to musisz korzystać z interpretacji \(\displaystyle{ f(z)}\) jest nieanalityczna w punktach nie należących do jej dziedziny. Wtedy argument wygląda tak:

Niech \(\displaystyle{ \gamma}\) będzie gładką zamkniętą krzywą zawartą w \(\displaystyle{ D \subset \CC}\) a \(\displaystyle{ f(z)}\) będzie analityczna na całym \(\displaystyle{ D}\) wtedy:

\(\displaystyle{ \oint_{\gamma}f(z) \dd z=0}\)

Więc jeśli \(\displaystyle{ f\left(z\right)=\frac{z+1}{z}}\) czy prościej \(\displaystyle{ \frac{1}{z} }\) miało by być analityczne wszędzie na \(\displaystyle{ \CC}\) to musiało by zachodzić powyższe. A wiemy, że tak nie jest bo całka po dowolnym okręgu w \(\displaystyle{ 0}\) nie da zera. Zatem pokazałem nie wprost, że nie ma analityczności na \(\displaystyle{ \CC}\) (wszak jej założenie na \(\displaystyle{ \CC}\) prowadziło by do sprzeczności). W pewnym sensie pokazuje to, że coś jest nie tak w \(\displaystyle{ z=0}\).

Wiem, że to dużo mniej elegancki sposób w dodatku być może nie zawsze zadziała i w ogóle teraz jak na to patrzę to wiedzę, że to brzydkie ale mimo wszystko uważam, że miało to sens gdy patrzymy na analityczność tak jak to zrobiłem w pierwszym poście.

Poza tym: nawet gdyby badanie analityczności w zerze było na temat, i nawet gdyby powyższe stwierdzenie było prawdziwe, to wciąż - liczenie całki tylko po to, by stwierdzić brak analityczności w punkcie \(\displaystyle{ z=0}\), w którym funkcja nawet nie jest określona, jest pomysłem mocno nieoptymalnym.

A to już inny temat. Optymalność rozwiązania jest subiektywna ja uznałem za znamy fakt, iż wspomniana całka się nie zeruje. To tak pół żartem pół serio.

Dodatkowe założenie jednospójności obszaru uczyniłoby wyżej omawiane stwierdzenie prawdziwym, ale nie rozumiem, co to ma wspólnego z dyskutowaną wyżej konwencją ("Twoją" czy "moją").

Na to pytanie już poniekąd odpowiedziałem przestrzeliwając ten argument nie wprost. Bo jeśli zakładamy jednostajność to nie mógłbym liczyć całki po okręgu i środku \(\displaystyle{ z=0}\) i jednocześnie wnioskować o analityczności na \(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\} }\). Dlatego ja zakładam, że \(\displaystyle{ f}\) jest analityczna na \(\displaystyle{ \CC}\) wybieram dowolny jednospójny obszar zawierający \(\displaystyle{ z=0}\) liczę całkę po kole o środku w \(\displaystyle{ z=0}\) i okazuje się, że się nie zeruje tzn. że założenie było fałszywe (a zakładałem analityczność na \(\displaystyle{ \CC}\)).

PS Dyskusja się wydłuża i jeśli chcesz to możemy ją kontynuować (ja chętnie) niemniej jednak wydaje mi się, że dość jasno przedstawiłem swoje stanowisko i chyba nie będę w stanie już nic sensownego napisać. Podsumowując zmieniam koncepcję analityczności na "Twoją" uważam, że to cenna lekcja dziękuję, ale jednocześnie uważam, że to co pisałem na samym początku miało sens gdy oceniamy to pod pewnym kątem. Zależy mi też na tym, żebyś nie traktował objętości tego postu jako próby przegadania Cię, bo ja się z Tobą zgadzam i dziękuję za te uwagi bo dały mi do myślenia, tylko niektóre niuanse wymagają skrupulatnego wyjaśnienia.

[Dasio11]

Forsujesz tym samym swoje podejście które już uznałem za "lepsze" ale to nie oznacza, że to co powiedziałem nie miało sensu bo oceny dokonałeś post factum. Pamiętaj, że pisząc pierwszy post korzystałem z "mojej" interpretacji a autor nie mówił nic o sprawdzaniu analityczności na \(\displaystyle{ \CC}\) czy czymkolwiek innym np. \(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\} }\). Więc argument był w skrócie taki \(\displaystyle{ z=0}\) nie należy do dziedziny więc \(\displaystyle{ f(z)}\) nie jest analityczna na \(\displaystyle{ \CC}\). Przy czym to ja założyłem, że sprawdzam analityczność na \(\displaystyle{ \CC}\) autor nic nie powiedział o żadnym zbiorze. Pisząc, że zakładając \(\displaystyle{ \CC}\) popełniam błąd bo powinienem wybrać \(\displaystyle{ \CC \setminus \left\{ 0\right\} }\) narzucasz mi "Twoją" interpretację mimo, że proszę abyś spojrzał na to co napisałem przez pryzmat "mojej".

Wydawało mi się, że wyjaśniłem to w poprzednim poście:

Ok, na siłę można się umówić, że w punktach spoza dziedziny funkcję nazwiemy nieciągłą [...]. Ale nawet wtedy Twoja wcześniejsza odpowiedź jest nie na temat, bo pytanie nie było o analityczność funkcji w każdym punkcie \(\displaystyle{ \CC}\), tylko o analityczność w ogóle - a tę zawsze definiuje się jako analityczność w każdym punkcie dziedziny.

Innymi słowy: w pewnym stopniu jest kwestią wyboru definicja pojęcia "funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest analityczna w punkcie \(\displaystyle{ z}\)" w sytuacji, gdy \(\displaystyle{ z}\) nie należy do dziedziny \(\displaystyle{ f}\) - jedni w takim przypadku powiedzą, że funkcja jest w tym punkcie nieanalityczna ("Twoja" konwencja), inni zaś stwierdzą, że to pojęcie nie jest wtedy określone ("moja"). Jednak nie jest kwestią wyboru definicja pojęcia "funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest analityczna", ono bowiem zawsze oznacza analityczność funkcji \(\displaystyle{ f}\) w każdym punkcie z dziedziny. Dlatego napisałem, że skoro zadanie polega na zbadaniu analityczności funkcji \(\displaystyle{ f}\), to nie na temat (co zresztą nie znaczy że bez sensu) jest odpowiedź mówiąca o analityczności w punkcie \(\displaystyle{ z = 0}\), nienależącym do dziedziny. I jest tak niezależnie od tego, czy w kwestii tej wybieralnej konwencji przyjmiemy "Twoją", czy "moją" interpretację.

W skrócie: nawet jeśli za sensowne uznać pytanie o analityczność funkcji w punktach spoza jej dziedziny, to nie o to pytają w poleceniu sformułowanym jako "sprawdź analityczność funkcji", tylko o analityczność w punktach należących do dziedziny.

Jeśli jednak wciąż uważasz, że to co napisałem o Twojej odpowiedzi "forsuje moje podejście", to wskaż mi, proszę, miejsce w literaturze, gdzie analityczność funkcji (lub ciągłość, whatever) zdefiniowana jest jako "analityczność na \(\displaystyle{ \CC}\) (lub \(\displaystyle{ \RR}\))".

Tak ale ja miałem na myśli analityczność na \(\displaystyle{ \CC}\) gdy to pisałem

Naprawdę nie wiem, w jaki sposób krytykowany przeze mnie fragment:

Zauważmy, że całka po krzywej zamkniętej z funkcji analitycznej określonej na pewnym podzbiorze \(\displaystyle{ \CC}\) zeruje się (oczywiście krzywa mieście się w ów podzbiorze).

mógłbym zinterpretować jako "całka po krzywej zamkniętej z funkcji analitycznej na \(\displaystyle{ \CC}\) zeruje się". Jeśli funkcja ma być analityczna na \(\displaystyle{ \CC}\), to (znów: niezależnie od wyboru konwencji) musi być określona na całym \(\displaystyle{ \CC}\), a nie na dowolnym podzbiorze.

więc jeśli chcesz oceniać sensowność to musisz korzystać z interpretacji \(\displaystyle{ f(z)}\) jest nieanalityczna w punktach nie należących do jej dziedziny.

Przecież dokładnie to zrobiłem:

Cytowane stwierdzenie jest ewidentnie nieprawdziwe i przy "Twojej", i "mojej" interpretacji,

przy czym "Twoja" interpretacja to właśnie ta, według której "\(\displaystyle{ f}\) jest nieanalityczna w punktach nienależących do jej dziedziny".

Wtedy argument wygląda tak:

Niech \(\displaystyle{ \gamma}\) będzie gładką zamkniętą krzywą zawartą w \(\displaystyle{ D \subset \CC}\) a \(\displaystyle{ f(z)}\) będzie analityczna na całym \(\displaystyle{ D}\) wtedy:

\(\displaystyle{ \oint_{\gamma}f(z) \dd z=0}\)

Nie bierz tego do siebie, ale zaczynam mieć wrażenie, że zupełnie nie wiesz, o czym piszesz. Jeśli znów zakładasz analityczność \(\displaystyle{ f}\) na całym \(\displaystyle{ \CC}\), to po pierwsze: miło byłoby, gdybyś o tym napisał, a po drugie - po co jakiś obszar \(\displaystyle{ D}\) ? Jeśli jednak - zgodnie z tym, co piszesz - zakładasz tylko analityczność na \(\displaystyle{ D}\), to znów napisałeś tę samą nieprawdę, do której odniosłem się w ostatnim poście. Vide: funkcja \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{z}}\) analityczna (i określona ;P) na obszarze \(\displaystyle{ D = \CC \setminus \{ 0 \}}\) tudzież okrąg jednostkowy.

[Janusz Tracz]

Kluczowe stwierdzenie:

\(\displaystyle{ \red{ \spadesuit \spadesuit\spadesuit }}\) W skrócie: nawet jeśli za sensowne uznać pytanie o analityczność funkcji w punktach spoza jej dziedziny, to nie o to pytają w poleceniu sformułowanym jako "sprawdź analityczność funkcji", tylko o analityczność w punktach należących do dziedziny.

\(\displaystyle{ \blue{\clubsuit \clubsuit \clubsuit} }\) Inaczej interpretowałem polecenie. Ja sprawdzałem analityczność na całym \(\displaystyle{ \CC}\) i niezależnie jak głupawe to było to tak własnie było. Mój argument wyglądał tak:

\(\displaystyle{ 1)}\) Zakładam analityczność \(\displaystyle{ f(z)}\) na \(\displaystyle{ \CC}\).

\(\displaystyle{ 2)}\) Na gruncie tego założona powinno być \(\displaystyle{ \oint_{\gamma}f(z) \dd z=0 }\).

\(\displaystyle{ 3)}\) A okuje się, że tak nie jest bo \(\displaystyle{ \oint_{|z|=1}f(z) \dd z \neq 0 }\).

3':    

Po to wspomniałem o rozwinięciu \(\displaystyle{ f(z)}\) w szereg Laurenta bo widać z niego od razu residuum niezerowe czyli całka też się nie wyzeruje.

\(\displaystyle{ 4)}\) Wniosek: analityczności nie ma na \(\displaystyle{ \CC}\).

To jest wszytko co mam na swoją obronę. Możesz mi powiedzieć, że takie podejście nie ma sensu bo \(\displaystyle{ \red{ \spadesuit \spadesuit\spadesuit }}\) na co odpowiem: wiem i teraz się zgadzam ale \(\displaystyle{ \blue{\clubsuit \clubsuit \clubsuit} }\).

PS Tym sposobem chyba odniosłem się do większości zastrzeżeń no w wyjątkiem tej literatury której nie znajdę bo pewnie takiej nie ma...

PPS

Nie bierz tego do siebie, ale zaczynam mieć wrażenie, że zupełnie nie wiesz, o czym piszesz. Jeśli znów zakładasz analityczność \(\displaystyle{ f}\)
na całym \(\displaystyle{ \CC}\) ,to po pierwsze: miło byłoby, gdybyś o tym napisał, a po drugie - po co jakiś obszar \(\displaystyle{ D}\)
? Jeśli jednak - zgodnie z tym, co piszesz - zakładasz tylko analityczność na \(\displaystyle{ D}\) ...

Może za bardzo namieszałem tym \(\displaystyle{ D}\). Zakładam analityczność na całym \(\displaystyle{ \CC}\) tak jak wyżej w omawianym argumencie. Chciałem tylko podkreślić, że ciekawe rzeczy dzieją się gdy całkujemy po krzywej obejmującej punkt \(\displaystyle{ z=0}\) być może tego nie podkreśliłem wystarczająco. Bo prawdopodobnie zgodzimy się, że ciekawe rzeczy dzieją się w \(\displaystyle{ z=0}\) a to co jest do okola jest już ładne i analityczne...dlatego ograniczałem się do \(\displaystyle{ D}\) (które zawiera \(\displaystyle{ 0}\) jeśli nie było to jasne to przepraszam) bo wszędzie poza \(\displaystyle{ D}\) to jest ładnie i analityczne więc tylko takie \(\displaystyle{ D}\) mnie chwilowo interesowały.

[a4karo]

A dlaczego niezerowa całka po okręgu jednostkowym ma dowodzić braku analityczności w zerze? Wszak całka z funkcji \(\frac{1}{z-0.1}\) też jest niezerowa.

[Janusz Tracz]

Ale jesteś w stanie tak dobrać okrąg, że całka będzie zerowa

\(\displaystyle{ \oint_{|z|=0.01} \frac{ \dd z}{z-0.1} =0 }\)

Nie dowodzi to jeszcze analityczności ale mój argument działał w drugą stronę. Nie chce wyjść na upartego ignoranta, widzę luki opisanego sposobu i przyjmuję zarzuty. Jednak będę się odwoływał do \(\displaystyle{ \blue{\clubsuit \clubsuit \clubsuit}}\) i opisanych kroków \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\). Uważam, że pokazują one brak analityczności na \(\displaystyle{ \CC}\) nie mówię konkretnie gdzie jej nie ma i w jaki sposób ją tracimy. Dlatego też przyznałem, że sposób oraz interpretacja Dasia jest lepsza (no i poprawna co ważniejsze).