Mamy pytanie o przykład:
definiujemy iloczyn skalarny (zespolony):
\(\displaystyle{ \left\langle x,x\right\rangle \ge 0 }\) - zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=0}\).
\(\displaystyle{ \left\langle x+y,z\right\rangle = \left\langle x,z\right\rangle + \left\langle y+z\right\rangle }\) oraz \(\displaystyle{ \left\langle ax,y\right\rangle = a \left\langle x,y\right\rangle , a\in \mathbb{C} }\), dodatkowo spełnia: \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle = \overline{ \left\langle y,x\right\rangle } }\) - sprz. zespolone.
Definiujemy kąt między niezerowymi wektorami: \(\displaystyle{ \phi\in \left[ 0,\pi\right] : \cos{\phi} = \frac{Re\left( \left\langle x,y\right\rangle \right) }{\left| x\right|\left| y\right| }}\).
Czy ta definicja rzeczywiście działa - tzn. czy rzeczywiście, np. na płaszczyźnie zespolonej część rzeczywista zawsze się wyzeruje, gdy wektory będą miały między sobą kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)? Czy jest to dobre uogólnienie prostopadłości na wyższe wymiary?