Cześć!
Gdy mam zadanie dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) }\) określona w \(\displaystyle{ \left( 0, \infty \right) }\) i mam przedstawić tę funkcję za pomocą sinusowego lub kosinusowego wzoru całkowego Fouriera to wiem jak to zrobić ale spotkałem się z zadaniem, którego nie rozumiem:
Przedstawić w postaci sinusowej całki Fouriera funkcję \(\displaystyle{ f(x)= e^{ax} , a>0 }\) w \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) }\)
No i chodzi o to \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) }\) Czy ta funkcja jest określona od \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) }\) i ją mam rozwinąć czy jakoś niezrozumiale dla mnie ta całka sinusowa ma być w \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) }\)?
Czy powinienem narysować \(\displaystyle{ f(x)= e^{ax} }\) w \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) }\) rozwinąć ją nieparzyście na resztę \(\displaystyle{ x \in R}\) i później zastosować wzór na \(\displaystyle{ b(w)= \frac{2}{ \pi } \int_{0}^{ \infty }g(x) sin(wx) \dd x }\) gdzie \(\displaystyle{ g(x)}\) stanowi nieparzyste rozwinięcie \(\displaystyle{ f(x)}\)?
W podręczniku Żakowski Leksiński jest zdanie, że przy rozwiązywaniu tego typu zadań nie trzeba efektywnie konstruować funkcji przedłużonej bo we wzorach używamy \(\displaystyle{ f(t)}\) co sugerowałoby, że mój pomysł z wstawieniem do wzoru na \(\displaystyle{ b(w) }\) funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) nie ma sensu... ale tam wszystkie zadania ze wzorem sinusowym lub kosinusowym są na \(\displaystyle{ x>0}\).
Myślałem jeszcze ewentualnie o tym, żeby wziąć do wzoru \(\displaystyle{ f(x)}\) ale całkować nie w \(\displaystyle{ \left( 0, \infty \right) }\) jak jest we wzorze tylko w \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) }\) i gdy teraz o tym myślę to skoro całkowałbym funkcje nieparzystą przemnożoną przez nieparzystego sinusa to te całki powinny chyba wyjść takie same? To by sugerowało, że oba rozwiązania są równoznaczne albo że źle to rozumiem. Jedno rozwiązanie zaprzecza zdaniu w podręczniku a drugie wymaga modyfikacji wzoru a nie wiem czy ta modyfikacja jest dopuszczalna...
Czy ktoś może potwierdzić, że dobrze rozumuję lub zaprzeczyć i podpowiedzieć jak powinienem do tego podejść?