W jakich punktach podane funkcje mają pochodne, a w jakich są holomorficzne ? Podać wartość pochodnej w punktach, w których istnieje.
a) \(\displaystyle{ f(z)=\left|z \right|^2e ^{Re(iz)} }\)
b) \(\displaystyle{ f(z)=\sin \frac{z+i}{z-i} }\)
Czy wie ktoś jak to zrobić ?
Funkcja holomorficzna
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Funkcja holomorficzna
a) sprawę załatwiają równania Cauchy'ego-Riemanna: jeśli \(\displaystyle{ z=x+iy, \ x,y\in \RR}\), to
\(\displaystyle{ |z|^{2}e^{\mathrm{Re}(iz)}=\left(x^{2}+y^{2}\right)e^{-y}=\left(x^{2}+y^{2}\right)e^{-y}+i\cdot \red{0}}\)
Z równań Cauchy'ego-Riemanna dostajemy więc warunek konieczny różniczkowalności \(\displaystyle{ f}\) w punkcie płaszczyzny zespolonej \(\displaystyle{ z=x+iy}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}2xe^{-y}=0\\2ye^{-y}-\left(x^{2}+y^{2}\right)e^{-y}=0\end{cases}}\)
Łatwo się przekonać, że rozwiązaniem tego układu równań są
\(\displaystyle{ (x,y)\in \left\{0,0), \ (0,2)\right\}}\),
czyli jedynymi punktami, w których funkcja \(\displaystyle{ f}\) może być różniczkowalna, są \(\displaystyle{ z_{1}=0, \ z_{2}=2i}\)
Jasne jest też, że funkcja nie może być holomorficzna na żadnym zbiorze otwartym, por. definicja holomorficzności.
Pozostaje sprawdzić, czy funkcja ma pochodną w tych dwóch wspomnianych punktach: w zerze
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{|0+h|^{2}e^{\mathrm{Re}(i\cdot 0+ih)}-|0|^{2}e^{\mathrm{Re}(i\cdot 0)}}{h}\\=\lim_{h\to 0}\frac{|h|^{2}e^{\mathrm{Re}(ih)}}{h}=0}\)
(jeśli jeszcze tego nie widzisz, to skorzystaj z \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}f(h)=0\Leftrightarrow \lim_{h\to 0}|f(h)|=0}\), ja tego nie zamierzam bardziej rozpisywać),
czyli w zerze funkcja ma pochodną i wynosi ona zero.
Jeśli chodzi o punkt \(\displaystyle{ 2i}\), to sam sobie policz, na oko granica definiująca pochodną nie istnieje, ponieważ
\(\displaystyle{ \lim_{z\to 0}\frac{e^{z}-1}{z}=1}\), podczas gdy \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{Re}(ih)}{h}}\) nie istnieje i by się o tym przekonać, wystarczy wziąć ciągi \(\displaystyle{ h_{n}^{(1)}=\frac{1}{n}, \ h_{n}^{(2)}=i\cdot \frac{1}{n}}\)
b) Tutaj lepiej będzie skorzystać z tego, że złożenie funkcji holomorficznych jest funkcją holomorficzną niż wdawać się w jakiekolwiek rachunki.
Oczywiście \(\displaystyle{ z\mapsto \frac{z+i}{z-i}}\) jest holomorficzna w \(\displaystyle{ \CC\setminus \left\{i\right\}}\), to jedyna uwaga.
\(\displaystyle{ |z|^{2}e^{\mathrm{Re}(iz)}=\left(x^{2}+y^{2}\right)e^{-y}=\left(x^{2}+y^{2}\right)e^{-y}+i\cdot \red{0}}\)
Z równań Cauchy'ego-Riemanna dostajemy więc warunek konieczny różniczkowalności \(\displaystyle{ f}\) w punkcie płaszczyzny zespolonej \(\displaystyle{ z=x+iy}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}2xe^{-y}=0\\2ye^{-y}-\left(x^{2}+y^{2}\right)e^{-y}=0\end{cases}}\)
Łatwo się przekonać, że rozwiązaniem tego układu równań są
\(\displaystyle{ (x,y)\in \left\{0,0), \ (0,2)\right\}}\),
czyli jedynymi punktami, w których funkcja \(\displaystyle{ f}\) może być różniczkowalna, są \(\displaystyle{ z_{1}=0, \ z_{2}=2i}\)
Jasne jest też, że funkcja nie może być holomorficzna na żadnym zbiorze otwartym, por. definicja holomorficzności.
Pozostaje sprawdzić, czy funkcja ma pochodną w tych dwóch wspomnianych punktach: w zerze
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{|0+h|^{2}e^{\mathrm{Re}(i\cdot 0+ih)}-|0|^{2}e^{\mathrm{Re}(i\cdot 0)}}{h}\\=\lim_{h\to 0}\frac{|h|^{2}e^{\mathrm{Re}(ih)}}{h}=0}\)
(jeśli jeszcze tego nie widzisz, to skorzystaj z \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}f(h)=0\Leftrightarrow \lim_{h\to 0}|f(h)|=0}\), ja tego nie zamierzam bardziej rozpisywać),
czyli w zerze funkcja ma pochodną i wynosi ona zero.
Jeśli chodzi o punkt \(\displaystyle{ 2i}\), to sam sobie policz, na oko granica definiująca pochodną nie istnieje, ponieważ
\(\displaystyle{ \lim_{z\to 0}\frac{e^{z}-1}{z}=1}\), podczas gdy \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{Re}(ih)}{h}}\) nie istnieje i by się o tym przekonać, wystarczy wziąć ciągi \(\displaystyle{ h_{n}^{(1)}=\frac{1}{n}, \ h_{n}^{(2)}=i\cdot \frac{1}{n}}\)
b) Tutaj lepiej będzie skorzystać z tego, że złożenie funkcji holomorficznych jest funkcją holomorficzną niż wdawać się w jakiekolwiek rachunki.
Oczywiście \(\displaystyle{ z\mapsto \frac{z+i}{z-i}}\) jest holomorficzna w \(\displaystyle{ \CC\setminus \left\{i\right\}}\), to jedyna uwaga.