Witam, mam do zrobienia zadanie z obliczania całki po konturze, dodatnio zorientowanym:
\(\displaystyle{
\int_{ \alpha }^{} \frac{dz}{z^4+4}
}\)
\(\displaystyle{
\alpha : \left|z+1-i \right| =1
}\)
Szukałem wszędzie, ale nie mam pojęcia jak powinienem się za to zabrać, każda rada będzie na wagę złota.
Z to oczywiście liczba zespolona.
Całka po konturze, dodatnio zorientowanym
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Całka po konturze, dodatnio zorientowanym
Stosujemy twierdzenie o całce po konturze :
Jeśli krzywa \(\displaystyle{ \gamma }\) jest krzywą gładką zorientowaną, i jeśli \(\displaystyle{ z(t) , \ \ a\leq t \leq b }\) jest parametryzacją krzywej \(\displaystyle{ \gamma, }\) to zachodzi równość
\(\displaystyle{ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) z'(t)dt \ \ (1)}\)
Proszę znaleźć parametryzację okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ z_{0} = -1 + i }\) i promieniu \(\displaystyle{ r =1. }\)
Skorzystać z równości \(\displaystyle{ (1).}\)
Jeśli krzywa \(\displaystyle{ \gamma }\) jest krzywą gładką zorientowaną, i jeśli \(\displaystyle{ z(t) , \ \ a\leq t \leq b }\) jest parametryzacją krzywej \(\displaystyle{ \gamma, }\) to zachodzi równość
\(\displaystyle{ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) z'(t)dt \ \ (1)}\)
Proszę znaleźć parametryzację okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ z_{0} = -1 + i }\) i promieniu \(\displaystyle{ r =1. }\)
Skorzystać z równości \(\displaystyle{ (1).}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Całka po konturze, dodatnio zorientowanym
Nawet jeśli da się policzyć tę całkę przedstawioną wyżej metodą, to jest to masochizm w czystej postaci.
Dużo lepiej jest skorzystać z twierdzenia o residuach.
Dużo lepiej jest skorzystać z twierdzenia o residuach.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Całka po konturze, dodatnio zorientowanym
Jeśli zauważymy, że rozkładając funkcję \(\displaystyle{ g(z) = z^4 + 1 }\) na czynniki liniowe, to akurat punkt \(\displaystyle{ z_{0} = -1+i }\) jest jednym z biegunów jednokrotnych funkcji \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{g(z)}. }\)