Całka po konturze, dodatnio zorientowanym

[dawidcc]

Witam, mam do zrobienia zadanie z obliczania całki po konturze, dodatnio zorientowanym:
\(\displaystyle{
\int_{ \alpha }^{} \frac{dz}{z^4+4}
}\)
\(\displaystyle{
\alpha : \left|z+1-i \right| =1
}\)
Szukałem wszędzie, ale nie mam pojęcia jak powinienem się za to zabrać, każda rada będzie na wagę złota.
Z to oczywiście liczba zespolona.

[janusz47]

Stosujemy twierdzenie o całce po konturze :

Jeśli krzywa \(\displaystyle{ \gamma }\) jest krzywą gładką zorientowaną, i jeśli \(\displaystyle{ z(t) , \ \ a\leq t \leq b }\) jest parametryzacją krzywej \(\displaystyle{ \gamma, }\) to zachodzi równość

\(\displaystyle{ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) z'(t)dt \ \ (1)}\)

Proszę znaleźć parametryzację okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ z_{0} = -1 + i }\) i promieniu \(\displaystyle{ r =1. }\)

Skorzystać z równości \(\displaystyle{ (1).}\)

[Dasio11]

Nawet jeśli da się policzyć tę całkę przedstawioną wyżej metodą, to jest to masochizm w czystej postaci.

Dużo lepiej jest skorzystać z twierdzenia o residuach.

[janusz47]

Jeśli zauważymy, że rozkładając funkcję \(\displaystyle{ g(z) = z^4 + 1 }\) na czynniki liniowe, to akurat punkt \(\displaystyle{ z_{0} = -1+i }\) jest jednym z biegunów jednokrotnych funkcji \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{g(z)}. }\)