Promień zbieżności

[math196]

Znaleźć promienie zbieżności szeregów potęgowych:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty } n ^{ \alpha } z ^{n} }\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n ^{n} }{n!} (z-i) ^{n} }\)
Czy ktoś wie jak to zrobić ?

[a4karo]

Zastosować jedno ze znanych kryteriów

[janusz47]

A tym znanym kryterium jest kryterium (twierdzenie) Cauchy'ego-Hadamarda.

[math196]

a4karo czy w pierwszym promień wyjdzie 1?

[a4karo]

Tak

[janusz47]

Cauchy można nie odmienić, pisząc twierdzenie Cauchy - Hadamarda.

[math196]

A4karo rozpisałbyś przykład b?

[a4karo]

Spróbuj sam. Jak będzie źle, pomożemy

[math196]

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{(n+1) ^{n+1} } \cdot \frac{ n ^{n} }{n!}= \frac{(n+1)n ^{n} }{(n+1) ^{n+1} }= \frac{n ^{n} }{(n+1)^{n} } =\left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) ^{n} =\left( 1- \frac{1}{n+1} \right) ^{n} \lim_{n \to \infty } e ^{-1} }\)
Co wychodzi mi z twierdzenia promien \(\displaystyle{ R}\) to \(\displaystyle{ e}\) ???

[a4karo]

Promień jest ok. A gdzie jest środek koła zbieżności.?

Zapis trochę niezręczny. Lepiej zamiast \(\lim\) napisać \(\to\infty\)

[math196]

No,ale ja miałem wyznaczyć tylko promień.

[a4karo]

Ok się co szkodzi zrobić ten jeden krok

[math196]

No tak racja z tym lim. No to wychodzi na to, ,że środek to \(\displaystyle{ (i-e,i+e)}\) ??

[a4karo]

Nie. A gdyby zamiast `x-i` było `x`?

[math196]

To jaki powinien być ?