Dowód własności funkcji gamma

[nuSka11]

Jak wykazać tę własność
\(\displaystyle{ \Gamma(n+ \frac{1}{2} )= \frac{(2n-1)!!}{ 2^{n} } \sqrt{ \pi } }\)

Proszę o pomoc.

[janusz47]

Z rekurencyjnej własności funkcji Gamma

\(\displaystyle{ \Gamma \left (n + \frac{1}{2}\right) = \left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma \left (n -\frac{1}{2}\right ) = \left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\Gamma \left( n- \frac{3}{2} \right) = \left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdot ... \cdot \left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2} \right)\\ = \\= \left(\frac{2n-1}{2}\right) \left( \frac{2n-3}{2}\right)\cdot ... \cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi} =
\frac{(2n -1)(2n-3)\cdot.... \cdot 3\cdot 1}{2^{\frac{n+1}{2}}} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2^{n}(2n-2)(2n-4)\cdot ...\cdot 2}\sqrt{\pi} =\\ = \frac{(2n-1)(2n-3)\cdot...\cdot 3\cdot1}{2^{n}} \sqrt{\pi}= \frac{(2n-1)!!}{2^{n}}\sqrt{\pi}.}\)

co należało wykazać