Proszę o pomoc z dowodem

[eqsin]

Udowodnić twierdzenie:
Niech \(\displaystyle{ \lambda\ge1}\) oraz \(\displaystyle{ \mu\ge1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda+\mu)\ge2\Gamma(\mu)}\), wtedy funkcja Wright \(\displaystyle{ W_{\lambda,\mu}}\) jest zbliżona do wypukłości w stosunku \(\displaystyle{ g=z/(1-z)}\).


Trzeba skorzytać z lematu:
Niech funkcja \(\displaystyle{ f \in A }\) będzie w postaci \(\displaystyle{ f(z)=z+ \sum_{n=2}^{\infty} a_{n}z^n }\) , \(\displaystyle{ z \in D}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ 1 \ge 2a_{2} \ge ... \ge na_{n} \ge (n+1)a_{n+1} ... \ge 0 }\) oraz
\(\displaystyle{ 1 \le 2a_{2} \le na_{n} \le ... \le (n+1)a_{n+1} ... \le 2 }\) ,
to funkcja f jest zbliżenie wypukła względem \(\displaystyle{ g(z)=z/(1-z) }\).

[szw1710]

Co za bełkot. Jakieś nieudolne tłumaczenie z angielskiego. Lepiej podaj literaturę, skąd to wziąłeś, bo to językowe kalectwo.

[eqsin]

Literatura: MATHEMATICA BOHEMICA . Vol. 143 (2018) - Publisher and Editorial Office: Institute of Mathematics, Czech Academy of Sciences

Theorem. Let \(\displaystyle{ \lambda\ge1}\) and \(\displaystyle{ \mu\ge1}\). If \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda+\mu)\ge2\Gamma(\mu)}\), then \(\displaystyle{ W_{\lambda,\mu}}\) is close-to-convex with respect to \(\displaystyle{ g(z)=z/(1-z)}\).

[a4karo]

No to jeszcze musisz pisać definicje close-to-convex

[eqsin]

Definicja close-to-convex:

Let \(\displaystyle{ A}\) denote the class of analytic functions in the open unit disk \(\displaystyle{ D:=\{z \in \CC:|z|<1\}}\) having the form
\(\displaystyle{ f(z)=z+ \sum_{n=2}^{\infty} a_{n}z^{n}, z \in D}\).
Function \(\displaystyle{ f \in A}\) is called close-to-convex in \(\displaystyle{ D}\) if the complement of \(\displaystyle{ f(D)}\) can be written as union of non-intersecting half-lines. A function \(\displaystyle{ f \in A}\) is close-to-convex with respect to a starlike function \(\displaystyle{ g}\), denoted by \(\displaystyle{ \CCC_{g}}\), if it satisfies \(\displaystyle{ \Re\left\{ z f '(z)/g(z)\right\} >0, z \in D}\).

[janusz47]

Twierdzenie

Niech \(\displaystyle{ \lambda \geq 1, \ \ \mu \geq 1.}\) Jeżeli \(\displaystyle{ \Gamma(\lambda + \mu) \geq 2\Gamma(\mu) ,}\) to funkcja Wright'a jest funkcją prawie wypukłą ze względu na \(\displaystyle{ g(z) = \frac{z}{1-z}. }\)

Dowód Pańskiego twierdzenia - oparty jest na funkcji Maitlanda E. Wright'a \(\displaystyle{ W_{\lambda, \mu} }\) i podanym lemacie, którego dowód można znaleźć w artykule

S. Ozaki. On the theory of mulivalent functions II Sci. Rep. Tokyo Bunrika Daigahu Sec A,4(1941) 45-87.