Witam,
mam problem z znalezieniem odwzorowania zbioru:
\(\displaystyle{ D = \left\{ z \in \CC : |z|<1 \right\} } \setminus \left\{ z \in \CC : |z-1| \le 1 \right\}}\)
na górną półpłaszczyznę.
Nie wiem tak naprawdę od czego zacząć, może ktoś jest w stanie mi pomóc.
Odwzorowanie biholomoriczne na górną płaszczyznę
Odwzorowanie biholomoriczne na górną płaszczyznę
Ostatnio zmieniony 3 lip 2019, o 20:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Odwzorowanie biholomoriczne na górną płaszczyznę
Jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dowolnym punktem na brzegu koła otwartego \(\displaystyle{ K}\), to odwzorowanie \(\displaystyle{ f_{\alpha}(z) = \frac{1}{z-\alpha}}\) przeprowadzi to koło na pewną półpłaszczyznę otwartą.
Niech \(\displaystyle{ K_1 = \{ z \in \CC : |z| < 1 \}}\) i \(\displaystyle{ K_2 = \{ z \in \CC : |z-1| \le 1 \}}\), tak żeby \(\displaystyle{ D = K_1 \setminus K_2}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie dowolnym z dwóch punktów wspólnych brzegów \(\displaystyle{ K_1}\) i \(\displaystyle{ K_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ f_{\alpha}}\) przeprowadzi \(\displaystyle{ K_1}\) na pewną półpłaszczyznę otwartą \(\displaystyle{ \pi_1}\) a \(\displaystyle{ K_2 \setminus \{ \alpha \}}\) na pewną półpłaszczyznę domkniętą \(\displaystyle{ \pi_2}\). Zatem \(\displaystyle{ f_{\alpha}[D] = \pi_1 \setminus \pi_2}\) jest kątem otwartym (o mierze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\), jeśli się nie pomyliłem), więc dalej wystarczy go przesunąć, żeby miał wierzchołek w zerze, a następnie przekształcić funkcją \(\displaystyle{ z^3}\) (tak że powstanie półpłaszczyzna) i ewentualnie obrócić.
Niech \(\displaystyle{ K_1 = \{ z \in \CC : |z| < 1 \}}\) i \(\displaystyle{ K_2 = \{ z \in \CC : |z-1| \le 1 \}}\), tak żeby \(\displaystyle{ D = K_1 \setminus K_2}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie dowolnym z dwóch punktów wspólnych brzegów \(\displaystyle{ K_1}\) i \(\displaystyle{ K_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ f_{\alpha}}\) przeprowadzi \(\displaystyle{ K_1}\) na pewną półpłaszczyznę otwartą \(\displaystyle{ \pi_1}\) a \(\displaystyle{ K_2 \setminus \{ \alpha \}}\) na pewną półpłaszczyznę domkniętą \(\displaystyle{ \pi_2}\). Zatem \(\displaystyle{ f_{\alpha}[D] = \pi_1 \setminus \pi_2}\) jest kątem otwartym (o mierze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\), jeśli się nie pomyliłem), więc dalej wystarczy go przesunąć, żeby miał wierzchołek w zerze, a następnie przekształcić funkcją \(\displaystyle{ z^3}\) (tak że powstanie półpłaszczyzna) i ewentualnie obrócić.