Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest holomorficzna i nie znikająca w obszarze \(\displaystyle{ D \subseteq \CC}\), to
\(\displaystyle{ \Delta |f(z)|= \frac{|f'(z)| ^{2} }{|f(z)|}.}\)
Funkcja holomorficzna i nie znikająca
-
amazing123
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 20 cze 2019, o 23:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 4 razy
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Funkcja holomorficzna i nie znikająca
Ustalmy \(\displaystyle{ z_0 \in D}\). Skoro \(\displaystyle{ f(z_0) \neq 0}\), to lokalnie wokół \(\displaystyle{ z_0}\) istnieje gałąź pierwiastka \(\displaystyle{ g(z) = \sqrt{f(z)} = u(z) + iv(z)}\). Ponieważ pochodna jest pojęciem lokalnym, jest sens napisać tak:
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\Delta |f(z)| & = \Delta |g(z)|^2 = \Delta ( u^2 + v^2 ) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \big( u^2 + v^2 \big) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \big( u^2 + v^2 \big) \\[1ex]
& = 2 \big( u_x^2 + u u_{xx} + u_y^2 + uu_{yy} + v_x^2 + vv_{xx} + v_y^2 + vv_{yy} \big) \\[1ex]
& = 2 \big( u_x^2 + v_x^2 + u_y^2 + v_y^2 + u (u_{xx} + u_{yy}) + v (v_{xx} + v_{yy}) \big).
\end{align*} $}\)
( Przez \(\displaystyle{ u_x}\) oznaczam pochodną \(\displaystyle{ u}\) po zmiennej \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ u_{xx}}\) oznacza drugą pochodną \(\displaystyle{ u}\) po \(\displaystyle{ x}\), i tak dalej. )
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest holomorficzna, więc \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są harmoniczne, czyli \(\displaystyle{ u_{xx} + u_{yy} = v_{xx} + v_{yy} = 0}\). Ponadto z bezpośrednich wyliczeń wynika, że
\(\displaystyle{ g'(z) = u_x + i v_x = \frac{1}{i} \big( u_y + i v_y \big),}\)
zatem \(\displaystyle{ |g'(z)|^2 = u_x^2 + v_x^2 = u_y^2 + v_y^2}\). Podstawiając do wcześniejszych obliczeń, dostajemy \(\displaystyle{ \Delta |f(z)| = 4|g'(z)|^2}\).
Dalej: \(\displaystyle{ |f'(z)|^2 = |2 g(z) g'(z)|^2 = 4 |g(z)|^2 |g'(z)|^2}\) oraz \(\displaystyle{ |f(z)| = |g(z)|^2}\). Stąd
\(\displaystyle{ \frac{|f'(z)|^2}{|f(z)|} = \frac{4 |g(z)|^2 |g'(z)|^2}{|g(z)|^2} = 4|g'(z)|^2 = \Delta |f(z)|}\)
dla \(\displaystyle{ z}\) lokalnie wokół \(\displaystyle{ z_0}\). W szczególności powyższa równość zachodzi dla \(\displaystyle{ z = z_0}\), co należało wykazać.
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\Delta |f(z)| & = \Delta |g(z)|^2 = \Delta ( u^2 + v^2 ) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \big( u^2 + v^2 \big) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \big( u^2 + v^2 \big) \\[1ex]
& = 2 \big( u_x^2 + u u_{xx} + u_y^2 + uu_{yy} + v_x^2 + vv_{xx} + v_y^2 + vv_{yy} \big) \\[1ex]
& = 2 \big( u_x^2 + v_x^2 + u_y^2 + v_y^2 + u (u_{xx} + u_{yy}) + v (v_{xx} + v_{yy}) \big).
\end{align*} $}\)
( Przez \(\displaystyle{ u_x}\) oznaczam pochodną \(\displaystyle{ u}\) po zmiennej \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ u_{xx}}\) oznacza drugą pochodną \(\displaystyle{ u}\) po \(\displaystyle{ x}\), i tak dalej. )
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest holomorficzna, więc \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są harmoniczne, czyli \(\displaystyle{ u_{xx} + u_{yy} = v_{xx} + v_{yy} = 0}\). Ponadto z bezpośrednich wyliczeń wynika, że
\(\displaystyle{ g'(z) = u_x + i v_x = \frac{1}{i} \big( u_y + i v_y \big),}\)
zatem \(\displaystyle{ |g'(z)|^2 = u_x^2 + v_x^2 = u_y^2 + v_y^2}\). Podstawiając do wcześniejszych obliczeń, dostajemy \(\displaystyle{ \Delta |f(z)| = 4|g'(z)|^2}\).
Dalej: \(\displaystyle{ |f'(z)|^2 = |2 g(z) g'(z)|^2 = 4 |g(z)|^2 |g'(z)|^2}\) oraz \(\displaystyle{ |f(z)| = |g(z)|^2}\). Stąd
\(\displaystyle{ \frac{|f'(z)|^2}{|f(z)|} = \frac{4 |g(z)|^2 |g'(z)|^2}{|g(z)|^2} = 4|g'(z)|^2 = \Delta |f(z)|}\)
dla \(\displaystyle{ z}\) lokalnie wokół \(\displaystyle{ z_0}\). W szczególności powyższa równość zachodzi dla \(\displaystyle{ z = z_0}\), co należało wykazać.