Oblicz całkę po zadanym konturze

[ForestWillow]

Cześć wszystkim, robię przykłady z analizy zespolonej i chciałbym spytać o to czy mój tok rozumowania jest poprawny.

Mam do policzenia całkę: \(\displaystyle{ \int_{\Gamma}dz\Re z}\) po konturach
\(\displaystyle{ (i)\hspace{2mm}\Gamma = [0,1+i]}\)

\(\displaystyle{ (ii)\hspace{2mm}\Gamma = [0,1]\cup[1,1+i]}\)



\(\displaystyle{ (i)\hspace{2mm} z=x+ix}\)

\(\displaystyle{ y=ix\hspace{5mm}\Re z=x\hspace{5mm}x\in[0,1]}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}d(x+ix)x=(1+i)\int_{0}^{1}xdx=\frac{1+i}{2}}\)



\(\displaystyle{ (ii)}\) Tutaj kontur całkowania rozdzielam na dwa podkontury:

\(\displaystyle{ a)\hspace{2mm} C_{2}'}\)

\(\displaystyle{ b)\hspace{2mm}C_{2}''}\)


\(\displaystyle{ a) \\
y=0\hspace{5mm}z=x\hspace{5mm}\Re z=x\hspace{5mm}dz=dx\hspace{5mm}x\in[0,1] \\
\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ b) \\
z=1+iy\hspace{5mm}dz=idy\hspace{5mm}\Re z=1\hspace{5mm}y\in[0,1] \\
\int_{0}^{1}idy=i}\)