Funkcja symetryczna.

[Zetorq]

Wiemy, że \(\displaystyle{ f(z)}\) jest holomorficzna na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) oraz \(\displaystyle{ f(z_0)=f(-z_0)}\). Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ f'(0)=0}\)? Jeśli tak to proszę o uzasadnienie.

[Premislav]

Czy równość \(\displaystyle{ f(z_0)=f(-z_0)}\) ma zachodzić dla każdego
\(\displaystyle{ z_0\in \CC}\)? Bo nie napisałeś tego, matematyk powinien być precyzyjny.

Jeśli tak, to
\(\displaystyle{ f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(-h)-f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0}\left( -1\cdot \frac{f(h)-f(0)}{h}\right)=- \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=-f'(0)}\)
stąd \(\displaystyle{ f'(0)=0}\).

[Zetorq]

Tak. Powinno być \(\displaystyle{ f(z)=f(-z)}\).

[Dasio11]

Można też obustronnie zróżniczkować \(\displaystyle{ f(-z) = f(z)}\) i skorzystać z reguły łańcuchowej, dostając od razu \(\displaystyle{ -f'(-z) = f'(z)}\), w szczególności \(\displaystyle{ -f'(0) = f'(0)}\) i stąd \(\displaystyle{ f'(0) = 0}\).