Obliczyć całkę krzywoliniową z sumy funkcji

[Haxecu11]

Hej. Mam straszny problem z zadaniem i nie wiem nawet jak się za nie zabrać. Uprzejmie proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \int_{C+}^{} \left( \frac{ e^{2z} }{ \left( z^{2} + 4 \right) ^{2} } + \frac{ e^{2z} }{ \left( z + 4 \right) } + e^{ \frac{2i}{2x-2i} } \right) dz}\)

gdzie

\(\displaystyle{ C_{1} = \left\{ z \left( t \right) = -2 + 5e^{it}, t \in \left[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \right\}, C_{2} = \left\{ z \left( t \right) = -2 + it, t \in \left[ -5, 5\right] \right\},\\ C = C _{1} \cup C _{2}.}\)

Jestem zielona w całkach krzywoliniowych, a w tym zadaniu nawet nie wiem jak zacząć. Uprzejmie proszę o pomoc! Z góry dziękuje

[Janusz Tracz]

Po pierwsze temat lepiej nadaje się do analizy zespolonej bo mimo, że całki są krzywoliniowe to jednak by je liczyć warto tu korzystać z twierdzeń analizy zespolonej. Po drugie liczenie tej całki na raz to słaby pomysł lepie to rozbić na sumę całek po \(\displaystyle{ C}\). Po trzecie by to liczyć trzeba zrozumieć czym jest \(\displaystyle{ C}\) (krzywa powstała ze sklejenia połowy okręgu z prostą). Zapiszmy kolejno:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-0.8,xscale=0.8]
%uncomment if require: \path (0,419.52000427246094); %set diagram left start at 0, and has height of 419.52000427246094

%Shape: Axis 2D [id:dp7314613986500988]
\draw (60,192.46) -- (440,192.46)(351.8,10) -- (351.8,379.52) (433,187.46) -- (440,192.46) -- (433,197.46) (346.8,17) -- (351.8,10) -- (356.8,17) ;
%Shape: Chord [id:dp17997136305526285]
\draw (301.71,306.32) .. controls (301.14,306.32) and (300.57,306.33) .. (300,306.33) .. controls (222.68,306.33) and (160,256.58) .. (160,195.2) .. controls (160,133.83) and (222.68,84.08) .. (300,84.08) .. controls (300.56,84.08) and (301.13,84.08) .. (301.69,84.09) -- cycle ;

% Text Node
\draw (281,180) node {$-2$};
% Text Node
\draw (141,180) node {$-7$};
% Text Node
\draw (120,147.52) node [align=left] {};
% Text Node
\draw (202.5,100) node {$\mathcal{C}$};


\end{tikzpicture}}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{I}_1=\int_{C} \frac{e^{2z}}{\left( z^2+4\right)^2 } \mbox{d}z}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{I}_2=\int_{C} \frac{e^{2z}}{z+4 } \mbox{d}z}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{I}_3=\int_{C} e^{ \frac{2i}{2x-2i}} \mbox{d}z}\)

Teraz widać, że \(\displaystyle{ \mathcal{I}_1=0}\) bo funkcja podcałkowa jest holomorficzna wewnątrz krzywej zamkniętej \(\displaystyle{ C}\) (

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_podstawowe_Cauchy%E2%80%99ego

), poza tym \(\displaystyle{ \mathcal{I}_2=2 \pi ie^{2 \cdot \left( -4\right) }}\) jako, że biegun funkcji podcałkowej to \(\displaystyle{ -4}\) i on już wewnątrz \(\displaystyle{ C}\) siedzi zatem korzystamy z o tw residuach lub wzór całkowego Cauchy’ego. Zostało \(\displaystyle{ \mathcal{I}_3}\) tu polecam ów całkę rozbić na kolejną sumę:

\(\displaystyle{ \mathcal{I}_3=\int_{C} e^{ \frac{2i}{2x-2i}} \mbox{d}z=\int_{C_1} e^{ \frac{2i}{2x-2i}} \mbox{d}z+\int_{C_2} e^{ \frac{2i}{2x-2i}} \mbox{d}z}\)

A \(\displaystyle{ x}\) zastąpić odpowiednio \(\displaystyle{ x(t)=\Re\left\{-2 + 5e^{it} \right\}}\) na \(\displaystyle{ C_1}\) oraz \(\displaystyle{ x(t)=\Re\left\{-2 + it \right\}}\) na \(\displaystyle{ C_2}\). Poza tym zamień zamienne z \(\displaystyle{ z}\) na \(\displaystyle{ t}\) wykonując przejście \(\displaystyle{ \mbox{d}z= \frac{ \mbox{d}z}{ \mbox{d}t} \mbox{d}t}\).

[Dasio11]

To jest zły rysunek.

[Janusz Tracz]

A tak dysleksja się odezwała... powinni być to symetrycznie odbite względem odcinka \(\displaystyle{ C_2}\). To oczywiście zmiana wynik ale niekoniecznie podejście do zadania. Dzięki.