Szeregi i ciągi zespolone

[palek1556]

Witam. Mam problem z rozwiązaniem następujących przykładów:

Granica ciągu

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{\left( \sqrt{3} + i \right) ^{n} }{n!}}\)

Szeregi

\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{+ \infty} = \left( \frac{\sin n!}{n ^{4} } + i \cdot \frac{3 ^{n} }{n+2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{+ \infty} = \frac{(i) ^{n} + \sin n }{n ^{4} }}\)

Prosiłbym o w miarę szczegółowe wytłumaczenie przebiegu rozwiązania zadań, same wskazówki mogą okazać się dla mnie niewystarczające - kiepski ze mnie matematyk
z góry dziękuję

[Janusz Tracz]

Dobrze jakbyś napisał treść zadania. Można się tylko domyślać.

1) Oszacuj moduł \(\displaystyle{ a_n}\) albo zauważ, że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_n=e^{\sqrt{3} + i }}\) zatem szereg o wyrazach \(\displaystyle{ a_n}\) jest zbieżny zatem \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\).

2) Źle zapisujesz szeregi. W przykładzie

\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \left( \frac{\sin n!}{n ^{4} } + i \cdot \frac{3 ^{n} }{n+2}\right)}\)

zauważ, że część urojona jest rozbieżna, wiesz co to oznacza? Natomiast w

\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \frac{i ^{n} + \sin n }{n ^{4} }}\)

możesz szacować moduł za pomocą nierówności trójkąta

\(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1 }^{ \infty} \frac{i ^{n} + \sin n }{n ^{4} }\right| \le \sum_{n=1 }^{ \infty} \frac{2}{n ^{4} }}\)

To pozwala na stwierdzenie zbieżności.

[palek1556]

chodzi o zbadanie zbieżności szeregów, a gdybym chciał je rozwiązać korzystając z któregoś z kryteriów (porównawczego cauchyego lub też d`alamberta) jak wyglądałoby ich zastosowanie na tych przykładach ?

[Janusz Tracz]

a gdybym chciał je rozwiązać korzystając z któregoś z kryteriów (porównawczego cauchyego lub też d`alamberta) jak wyglądałoby ich zastosowanie na tych przykładach ?

Tak samo. Pierwszy przykład rozwiązałem powołując się na rozbieżność części urojonej co wynika wprost z kryterium d`Alamberta. Kolejny zrobiony został porównawczym.