Mam prośbę o wytłumaczenie mi w jaki sposób rozwiązywać tego typu zadania. Nie jestem w stanie zrozumieć tego korzystając z twierdzeń. Prosiłbym o wytłumaczenie mi krok po kroku na przykładzie co się po kolei robi. Może to być przykład poniżej, może być inny. Ważne, żeby była to funkcja nieliniowa. Z góry dziękuję za każdą pomoc.
Dana jest funkcja:
\(\displaystyle{ \min f(x)=2x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+2x_1x_2-x_2-x_1.}\)
Przyjmując punkt startowy:
\(\displaystyle{ x^0=[-2,-1]^T}\) i kierunek odpowiadający metodzie Gaussa-Seidla wyznaczyć minimum funkcji w tym kierunku.
Należy obliczyć: \(\displaystyle{ x^1}\) oraz \(\displaystyle{ f(x^1)}\)
\(\displaystyle{ x^1=[x_1,x_2]^T.}\)
Wyznaczyć minimum funkcji korzystając z metody Gaussa-Seidla
Wyznaczyć minimum funkcji korzystając z metody Gaussa-Seidla
Ostatnio zmieniony 5 cze 2019, o 16:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Wyznaczyć minimum funkcji korzystając z metody Gaussa-Seidla
Metoda Gaussa - Seidla (MGGS) polega na minimalizacji funkcji \(\displaystyle{ f(\vec{x})}\) wzdłuż kolejnych kierunków ortogonalnej bazy kanonicznej.
Wybieramy punkt startowy \(\displaystyle{ \vec{x}_{0}= \left[ \begin{matrix} -2\\-1 \end{matrix}\right]}\)
Uwzględniamy wektor \(\displaystyle{ \vec{e}_{1}= \left[\begin{matrix}1\\0 \end{matrix}\right]}\) i znajdujemy odległość punktów \(\displaystyle{ \lambda^{1}_{0} = [ 1 - (-2)1, -0 -(-2)]= [3, 2]}\)
Wyznaczamy nowy wektor
\(\displaystyle{ x^{1}_{1} = \left[\begin{matrix} -2\\-1 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix}1\\ 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1\\ -1 \end{matrix}\right]}\)
Obliczamy wartość formy dla tego wektora:
\(\displaystyle{ f(1,-1) = -1 < f(-2, -1) =16.}\)
Przechodzimy do następnego kroku iteracyjnego.
Metoda MGS jest metodą bezgradientową. Zbieżność jej algorytmu zależy od od dwóch warunków:
Warunku pierwszego: zwartości zbioru:
\(\displaystyle{ X =[ x^{0}_{1}, x^{1}_{1},....]}\) który generuje - spełnionego z założenia tej metody.
Warunku drugiego :
\(\displaystyle{ f(\vec{x}^{k+1})< f(\vec{x}^{k}), \ \ k = 0,1,2...}\)-- 7 cze 2019, o 20:30 --\(\displaystyle{ \lambda^1_{0} = [1-(-2), \ \ 0 - (-1) = [3, \ \ 1]}\)
\(\displaystyle{ x^{1}_{1} = \left[\begin{matrix} -2\\-1 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix}1\\ 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1\\ -1 \end{matrix}\right].}\)
Wybieramy punkt startowy \(\displaystyle{ \vec{x}_{0}= \left[ \begin{matrix} -2\\-1 \end{matrix}\right]}\)
Uwzględniamy wektor \(\displaystyle{ \vec{e}_{1}= \left[\begin{matrix}1\\0 \end{matrix}\right]}\) i znajdujemy odległość punktów \(\displaystyle{ \lambda^{1}_{0} = [ 1 - (-2)1, -0 -(-2)]= [3, 2]}\)
Wyznaczamy nowy wektor
\(\displaystyle{ x^{1}_{1} = \left[\begin{matrix} -2\\-1 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix}1\\ 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1\\ -1 \end{matrix}\right]}\)
Obliczamy wartość formy dla tego wektora:
\(\displaystyle{ f(1,-1) = -1 < f(-2, -1) =16.}\)
Przechodzimy do następnego kroku iteracyjnego.
Metoda MGS jest metodą bezgradientową. Zbieżność jej algorytmu zależy od od dwóch warunków:
Warunku pierwszego: zwartości zbioru:
\(\displaystyle{ X =[ x^{0}_{1}, x^{1}_{1},....]}\) który generuje - spełnionego z założenia tej metody.
Warunku drugiego :
\(\displaystyle{ f(\vec{x}^{k+1})< f(\vec{x}^{k}), \ \ k = 0,1,2...}\)-- 7 cze 2019, o 20:30 --\(\displaystyle{ \lambda^1_{0} = [1-(-2), \ \ 0 - (-1) = [3, \ \ 1]}\)
\(\displaystyle{ x^{1}_{1} = \left[\begin{matrix} -2\\-1 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix}1\\ 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1\\ -1 \end{matrix}\right].}\)