Oblicz oraz rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych.

[Kokoriko]

1) Oblicz:
a) \(\displaystyle{ \frac{(4+2i)(1+2i)}{3+i}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{3+2i}{1-i}}\)
c) \(\displaystyle{ (-i)^{157}}\)
d) \(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i)^{30}}\)
e) \(\displaystyle{ (-1+i\sqrt{3})^{60}}\)

2) Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych
f) \(\displaystyle{ x^2+4=0}\)
g) \(\displaystyle{ x^2-2x+2=0}\)

=========================================
Moje rozwiązania:

a) \(\displaystyle{ \frac{(4+2i)(1+2i)}{3+i}=\frac{10i}{3+i} \cdot \frac{(3-i)}{(3-i)}=\frac{30i+10}{9-3i+3i+1}=\frac{30i+10}{10}=3i+1}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{3+2i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{3+2i+3i-2}{1+i-i+1}=\frac{1+5i}{2}}\)

c) \(\displaystyle{ (-i)^{157}=-i(i^2)^{78}= -i(-1)^{78}=-i}\)


f) \(\displaystyle{ x^2+4=0}\)

\(\displaystyle{ x^2=-4}\)

\(\displaystyle{ x=2i}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ x=-2i}\)

_____________________________________________________

g) \(\displaystyle{ x^2-2x+2=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta }=4-8=-4}\)

\(\displaystyle{ x_1=\frac{2-\sqrt{-4}}{2}=1-\sqrt{-4}}\)

\(\displaystyle{ x_2=\frac{2+\sqrt{-4}}{2}=1+\sqrt{-4}}\)

=========================================
Nie mam pojęcia jak zrobić d) i e), przykłady f) i g) zrobiłem na podstawie jakiegoś innego przykładu z internetu ale myślę że jest to niepoprawne, chciałem zrobić na podstawie tego filmiku

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=bAHZecdxpyg

lub tylko że tam zamiast x jest z i z sprzężenie.

[kmarciniak1]

Ogólnie to dobrze tylko w ostatnim popatrz jak skróciłeś.
A te dwa przykłady co zostały to skorzystaj z wzoru de Moivre'a.

[Kokoriko]

Ogólnie to dobrze tylko w ostatnim popatrz jak skróciłeś.
A te dwa przykłady co zostały to skorzystaj z wzoru de Moivre'a.

Próba rozwiązania wzorem de Moivre'a
d)
\(\displaystyle{ z=\sqrt{3}+i \\
n=30 \\
a=\sqrt{3} \\
b=1 \\
|z|=2 \\
\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \varphi=\frac{1}{2},\varphi =\frac{\pi}{6} \\
\sqrt{3}+i=2^{30}\cdot(\cos 5\pi+i\sin 5\pi)= 2^{30}\cdot(-1)}\)

e)
\(\displaystyle{ z=-1+i\sqrt{3} \\
n=60 \\
a=-1 \\
b=\sqrt{3} \\
|z|=2 \\
\cos \varphi=\frac{-\sqrt{1}}{2},\sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},\varphi =\frac{\pi}{3} \\
-1+i\sqrt{3}=2^{60} \cdot (\cos 20\pi+i\sin 20\pi)= 2^{60}}\)


g)
\(\displaystyle{ x_1=1-i \\
x_2=1+i}\)

Wszystko teraz ok?

[kmarciniak1]

Podpunkty d i e są ok. A tak na przyszłość to takie rzeczy możesz sprawdzić w Wolfram Alpha.
A w g rozumiem, że miałeś na myśli \(\displaystyle{ x _{1}=1-i}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}=1+i}\)
Jeśli tak to są to poprawne wyniki

[Kokoriko]

Podpunkty d i e są ok. A tak na przyszłość to takie rzeczy możesz sprawdzić w Wolfram Alpha.
A w g rozumiem, że miałeś na myśli \(\displaystyle{ x _{1}=1-i}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}=1+i}\)
Jeśli tak to są to poprawne wyniki

Ups, tak o to chodziło.
Dziękuję za pomoc!