Ciekawe zagadnienia analizy zespolonej
Ciekawe zagadnienia analizy zespolonej
hej w przyszłym roku będę bronić pracę magisterską z matematyki i jestem na etapie poszukiwania tematu pracy. Szukam inspiracji, może ktoś z Was mi coś podpowie głownie jestem zainteresowana analizą zespoloną (pracę licencjacką pisałam na temat odwzorowań konforemnych), ewentualnie równania różniczkowe. Jeśli ktoś z Was miał styczność lub słyszał o czymś ciekawym bardzo proszę o pomoc
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Ciekawe zagadnienia analizy zespolonej
Może coś o zastosowaniu teorii nakryć w analizie zespolonej?
Wiele funkcji holomorficznych \(\displaystyle{ f : D \to \CC}\) (a może wszystkie? - możesz pomyśleć), na przykład niestałe wielomiany, sinus, tangens oraz funkcja eksponencjalna, po obcięciu do zbioru
\(\displaystyle{ D_0 = \{ z \in D : f'(z) \neq 0 \}}\)
stają się nakryciami na obraz. Jeśli nakrycie jest niejednokrotne, to funkcja nie jest odwracalna w zwykłym sensie, ale można rozważać jej odwrotność jako funkcję wielowartościową. Dalej można:
\(\displaystyle{ \bullet}\) zdefiniować odpowiadającą tej funkcji powierzchnię Riemanna;
\(\displaystyle{ \bullet}\) zbadać związek grupy podstawowej tej powierzchni z grupą podstawową \(\displaystyle{ D}\) - na przykład obszar \(\displaystyle{ D = \CC \setminus \{ 0 \}}\) ma grupę podstawową \(\displaystyle{ \ZZ}\), ale powierzchnia Riemanna odpowiadająca funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\) to już \(\displaystyle{ \ZZ_2}\), natomiast dla \(\displaystyle{ \ln z}\) grupa podstawowa jest trywialna;
\(\displaystyle{ \bullet}\) sprawdzić, jak cała sytuacja zachowuje się ze względu na różniczkowanie - na przykład \(\displaystyle{ \arctg z}\) jest funkcją wielowartościową, ale po zróżniczkowaniu staje się zwyczajną funkcją \(\displaystyle{ \frac{1}{1+z^2}}\);
\(\displaystyle{ \bullet}\) przedstawiać \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jako całkę oznaczoną z pochodnej \(\displaystyle{ (f^{-1})'}\) i badać związek krotności funkcji odwrotnej z residuami tejże pochodnej w poszczególnych punktach osobliwych - na przykład zachodzi wzór
\(\displaystyle{ \ln z = \int \limits_1^z \frac{1}{\zeta} \, \dd \zeta}\),
ale ponieważ całka po prawej stronie zależy od drogi całkowania (ze względu na niezerowe residuum w punkcie \(\displaystyle{ z=0}\)), to funkcja po lewej stronie jest wielowartościowa; w przypadku kiedy pochodna nie jest funkcją jednoznaczną, tak jak w wypadku funkcji \(\displaystyle{ \left( \sqrt{z} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{z}}}\), należy najpierw nadać sens takiej całce, zdaje się, że trzeba też przedefiniować pojęcie residuum.
Nie znam się szczególnie na tym temacie, więc trudno mi ocenić, czy jest odpowiednio głęboki na pracę magisterską, ale wygląda mi na ciekawy.
Wiele funkcji holomorficznych \(\displaystyle{ f : D \to \CC}\) (a może wszystkie? - możesz pomyśleć), na przykład niestałe wielomiany, sinus, tangens oraz funkcja eksponencjalna, po obcięciu do zbioru
\(\displaystyle{ D_0 = \{ z \in D : f'(z) \neq 0 \}}\)
stają się nakryciami na obraz. Jeśli nakrycie jest niejednokrotne, to funkcja nie jest odwracalna w zwykłym sensie, ale można rozważać jej odwrotność jako funkcję wielowartościową. Dalej można:
\(\displaystyle{ \bullet}\) zdefiniować odpowiadającą tej funkcji powierzchnię Riemanna;
\(\displaystyle{ \bullet}\) zbadać związek grupy podstawowej tej powierzchni z grupą podstawową \(\displaystyle{ D}\) - na przykład obszar \(\displaystyle{ D = \CC \setminus \{ 0 \}}\) ma grupę podstawową \(\displaystyle{ \ZZ}\), ale powierzchnia Riemanna odpowiadająca funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\) to już \(\displaystyle{ \ZZ_2}\), natomiast dla \(\displaystyle{ \ln z}\) grupa podstawowa jest trywialna;
\(\displaystyle{ \bullet}\) sprawdzić, jak cała sytuacja zachowuje się ze względu na różniczkowanie - na przykład \(\displaystyle{ \arctg z}\) jest funkcją wielowartościową, ale po zróżniczkowaniu staje się zwyczajną funkcją \(\displaystyle{ \frac{1}{1+z^2}}\);
\(\displaystyle{ \bullet}\) przedstawiać \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jako całkę oznaczoną z pochodnej \(\displaystyle{ (f^{-1})'}\) i badać związek krotności funkcji odwrotnej z residuami tejże pochodnej w poszczególnych punktach osobliwych - na przykład zachodzi wzór
\(\displaystyle{ \ln z = \int \limits_1^z \frac{1}{\zeta} \, \dd \zeta}\),
ale ponieważ całka po prawej stronie zależy od drogi całkowania (ze względu na niezerowe residuum w punkcie \(\displaystyle{ z=0}\)), to funkcja po lewej stronie jest wielowartościowa; w przypadku kiedy pochodna nie jest funkcją jednoznaczną, tak jak w wypadku funkcji \(\displaystyle{ \left( \sqrt{z} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{z}}}\), należy najpierw nadać sens takiej całce, zdaje się, że trzeba też przedefiniować pojęcie residuum.
Nie znam się szczególnie na tym temacie, więc trudno mi ocenić, czy jest odpowiednio głęboki na pracę magisterską, ale wygląda mi na ciekawy.